Математика / 5. Математическое моделирование

 

Калжанов М.У.

 

 

Динамика уровней автокорреляции

 временного ряда

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда [1].

Количественно ее можно  определить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

                                                  (1)

где

        

 Вышеуказанную  величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда  и .

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями  и  и определяется по формуле:

                                                (.2)

где

        

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

При анализе  автокорреляционной функции и коррелограммы  можно определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, и соответственно , и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Предположим, что имеются некоторые условные данные об общем количестве выпуска овощей в теплице.                                                 Таблица.1

Год

Квартал

Количество урожая (кг),

2011

I

1

375

II

2

371

III

3

869

IV

4

1015

2012

I

5

357

II

6

471

III

7

992

IV

8

1020

2013

I

9

390

II

10

355

III

11

992

IV

12

905

2014

I

13

461

II

14

454

III

15

920

IV

16

927

. Определим несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.

 

Таблица.2

1

2

3

4

5

6

7

8

1

375

–

–

–

–

–

–

2

371

375

-328,33

-288,13

94601,72

107800,59

83018,90

3

869

371

169,67

-292,13

-49565,70

28787,91

85339,94

4

1015

869

315,67

205,87

64986,98

99647,55

42382,46

5

357

1015

-342,33

351,87

-120455,66

117189,83

123812,50

6

471

357

-228,33

-306,13

69898,66

52134,59

93715,58

7

992

471

292,67

-192,13

-56230,69

85655,73

36913,94

8

1020

992

320,67

328,87

105458,74

102829,25

108155,48

9

390

1020

-309,33

356,87

-110390,60

95685,05

127356,20

10

355

390

-344,33

-273,13

94046,85

118563,15

74600,00

11

992

355

292,67

-308,13

-90180,41

85655,73

94944,10

12

905

992

205,67

328,87

67638,69

42300,15

108155,48

1

2

3

4

5

6

7

8

13

461

905

-238,33

241,87

-57644,88

56801,19

58501,10

14

454

461

-245,33

-202,13

49588,55

60186,81

40856,54

15

920

454

220,67

-209,13

-46148,72

48695,25

43735,36

16

927

920

227,67

256,87

58481,59

51833,63

65982,20

Сумма

10499

9947

9,05

0,05

74085,16

1153766,39

1187469,73

Среднее значение

699,33

663,13

–

–

–

–

–

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (1):

.

Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

Таблица 3

1

2

3

4

5

6

7

8

1

375

–

–

–

–

–

–

2

371

–

–

–

–

–

–

3

869

375

145,57

-269,79

-39273,33

21190,62

72786,64

4

1015

371

291,57

-273,79

-79828,95

85013,06

74960,96

5

357

869

-366,43

224,21

-82157,27

134270,94

50270,12

6

471

1015

-252,43

370,21

-93452,11

63720,90

137055,44

7

992

357

268,57

-287,79

-77291,76

72129,84

82823,08

8

1020

471

296,57

-173,79

-51540,90

87953,76

30202,96

9

390

992

-333,43

347,21

-115770,23

111175,56

120554,78

10

355

1020

-368,43

375,21

-138238,62

135740,66

140782,54

11

992

390

268,57

-254,79

-68428,95

72129,84

64917,94

12

905

355

181,57

-289,79

-52617,17

32967,66

83978,24

13

461

992

-262,43

347,21

-91118,32

68869,50

120554,78

14

454

905

-269,43

260,21

-70108,38

72592,52

67709,24

15

920

461

196,57

-183,79

-36127,60

38639,76

33778,76

16

927

454

203,57

-190,79

-38839,12

41440,74

36400,82

Сумма

10128

9027

-0,02

-0,06

-1034792,71

1037835,43

1116776,36

Среднее значение

723,43

644,79

–

–

–

–

–

Следовательно

.

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.

Таблица 4

Лаг

Коэффициент автокорреляции уровней

1

0,063294

2

–0,961183

3

–0,036290

4

0,964735

5

0,050594

6

–0,976516

7

–0,069444

8

0,964629

9

0,162064

10

-0,972918

11

-0,065323

12

0,985761

 

Коррелограмма:

451

Рис. 1

Анализа коррелограмму и график  исходных уровней временного ряда  можно  заключить вывод о  том, что в предлагаемом  временном ряде сезонных колебаний есть наличие  периодичности  в четыре квартала.

 

 

 

Литература :

 

1.                Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.

2.                Эконометрика: Учебно-методическое пособие / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: ТИСБИ, 2002. – 56 с.

3.                Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1999. – 402 с.