Карачун В.В., Мельник В.М.

Національний технічний університет України «КПІ»

ЗБУРЕНЕ ПЕРЕМІЩЕННЯ РН ПІД ДІЄЮ АКУСТИЧНОЇ ХВИЛІ. ЛІНІЙНЕ НАБЛИЖЕННЯ

 

Спочатку розглянемо найбільш простий випадок – коли дія хвилі тиску передається на корпус РН тільки завдяки пружній в’язі.

Приймаючи вимушений рух ракети за поступальний, рівняння його руху можна навести у вигляді:

                  (1)

де  – маса РН;  – її переміщення вздовж осі .

Додавши до рівняння (1) наступні кінематичні співвідношення

              (2)

отримуємо задачу Коші для функції . Розв’язок має вигляд –

                               (3)

де  – жорсткість захвату РН;  – збурюючий чинник, заданий за величиною. В найпростішому варіанті обидві ці величини константи.

За умови (3), рівняння шахти набувають структури:

                 (4)

Довжина РН визначена, тому змінні набуватимуть наступних значень:

Вважаючи товщину циліндра шахти настільки малою, що похідними по  розв’язку можна нехтувати, бігармонічний оператор набуває виду –

  (5)

Система рівнянь (4), таким чином, перетвориться –

            (6)

Для циліндра шахти очевидно, що . Граничні умови для функцій  слід формулювати для умови  та :

                   (7)

За неоднорідних граничних умов, розв’язання відшукувалося б у вигляді суми:

,

де  – які-небудь гладкі функції, що задовольняють заданим граничним умовам,  – розв’язки системи (6) за однорідних граничних умов, але і з іншою правою частиною.

Таким чином, розв’язок системи (6) виявляється двоточковим. Розкладемо праву частину другого з рівнянь системи (6) в ряд Фур’є в прямокутнику по системі функцій

                       (8)

Тоді –

                       (9)

тут  – довжина шахтного відсіку.

Коефіцієнти Фур’є функції  обчислюються за формулами:

Отже,

                            (10)

Зважаючи, що робимо висновок – коефіцієнти являються функціями часу  і параметра  (точки прикладення пружної в’язі).

Розв’язок системи (6) шукаємо у формі рядів Фур’є за функціями системи (8) в прямокутнику:

                    (11)

Найближчою метою є знаходження коефіцієнтів Фур’є  та , які залежать від часу , координати  та інших параметрів.

Підстановка (9), (10) та (11) в рівняння (6) дає:

     (12)

або в такому вигляді –

           (13)

Якщо , система (13) виглядає наступним чином:

       (14)

За умови, що

                                       (15)

має місце таке:

                                       (16)