Холодная А.В., Рафиков Г.Ш.

Донецкий национальный технический университет, Украина

Робастное управление системой «испаритель – перегреватель» парового котла с естественной циркуляцией типа Е

Основная и принципиально новая идея по синтезу робастного управления состоит в том, чтобы единственным регулятором обеспечить устойчивость замкнутой системы не только для номинального (без учета ошибок модели) объекта, но и для любого объекта, принадлежащего множеству «возмущенных» объектов, определяемых классом неопределенности. Для синтеза робастных регуляторов, как правило, применяется  - теория управления, которая позволяет управлять объектом в условиях неопределенностей, среди которых чаще всего выступают шумы, нелинейности и неточности в знании передаточной функции объекта управления. Данные виды неопределенностей можно отнести и к объекту «испаритель-перегреватель» парового котла, т.к. данный объект подвержен множеству внешних воздействий и невозможно точное определение его передаточной функции из-за множества внутренних связей между компонентами этого объекта.[1]

В данной работе рассматривается «испаритель-перегреватель» парового котла с естественной циркуляцией, при этом данная система многосвязная из-за наличия в ней внутренних связей между испарителем и перегревателем. Целью данной работы является оптимизация управления системой испаритель-перегреватель парового котла с одновременным и согласованным регулированием подачи воды и топлива в топку. Другими словами необходимо одним регулятором обеспечить устойчивость замкнутой системы как для номинального (без учёта ошибок модели) так и для «возмущенного» объекта (с учётом неопределённости модели и помех действующих на объект управления).

Исходя из канонического описания объекта в пространстве состояний, уравнения состояния и выхода для этого объекта записываются следующим образом:[2]

              ,           (1)

                         ,                                    (2)

Представим систему в дискретной форме, описанную векторно-матричным разностным уравнением вида:[3]

                          ,                                (3)

где   - n-мерный вектор состояния объекта управления;

 - m-мерный вектор управления;

- матрица перехода состояний объекта управления размерности (n´n);

- матрица управляемого перехода объекта управления размерности  (n´m).

Одним из наиболее простых и актуальних подходов к решению - оптимизации является  «2-Рикатти подход». Особенность этого метода состоит в том, что постановка задачи дается частотным методом, а решение – методом пространства состояний. Кроме того данный подход позволяет разработчикам в процессе проектирования задавать требуемые характеристики качества и робастной устойчивости замкнутой системы.

Степень субоптимального регулятора, найденного по - норме, не превышает n-степень системы объекта управления. Регуляторы, синтезированные с помощью «2-Рикатти подхода», обеспечивают устойчивость замкнутой системы и минимальную чувствительность к возмущениям.[4]

Дополним уравнения математической модели вектором внешних неизмеряемых возмущений и вектором помех измерения получим следующую систему:[5]

                                                                                               (4)

Вектор управляемых выходов с учётом неизмеряемых помех может быть записан в виде:                                               

,                                                              (5)

где .

Рассмотрим вектор контролируемых выходов :

 

                                                     .                                            (6)

Объединяя  (4) - (6) получим систему уравнений, описывающую данный объект:

                                                                                       (7)

где Iu – единичная матрица размерности (3х3).

Рассмотрим расширенный вектор входных возмущений:

                                                                                                       (8)

Тогда (7) примет вид:

                                                                                       (9)

Система уравнений, которая описывает стандартный объект в пространстве состояний для расширенных векторов  и  имеет вид:

                                                                                  (10)

Синтезированный регулятор по  - оптимизации обеспечивает подавление воздействия внешних возмущений на вход системы до заранее предписанного уровня. Энергия ошибки, которая проходит на выход, рассчитывается - нормой матричной передаточной функции замкнутой системы от внешних возмущений к управляемому выходу.

Для объекта управления синтезируется регулятор, который обеспечивает выполнение следующего условия:

                                                           ,                                          (11)

где W – матричная передаточная функция, которая характеризует чувствительность управляемых и управляющих переменных замкнутой системы к внешним возмущениям,  - показатель толерантности системы, т.е. уровень нечувствительности к изменению ее параметров.

Синтезированный регулятор имеет структуру фильтра Калмана – Бьюси:

                                                                         (12)

Вычисление матриц обратной связи регулятора и наблюдателя соответственно К и L, а так же вектора , который может трактоваться как оценка наиболее неблагоприятного воздействия, основано на решении матричных квадратичных уравнениях Лурье-Риккати.

Синтез регулятора проведён по следующему алгоритму:[5]

1.     Задать некоторое значение  критерия.

2.     Найти стабилизирующее решение  уравнения:

                                                ,                            (13)

где:          

               .

 Если решение не существует, перейти к пункту п.8.

3.     Найти стабилизирующее решение  уравнения:

                                                ,                            (14)

где:              

             

Если решение не существует, перейти к пункту п. 8.

4.     Вычислить матрицу PD и найти её максимальное сингулярное число. Если оно больше , то перейти к п. 8.

5.     Чтобы улучшить критерий заменим  на меньшую величину и перейдём к п. 2.

6.     Вычислить матрицы:

                                                                   (15)

7.     Определить  по формуле:

                                                  .                                           (16)

8.     Зафиксировать, что данное значение критерия недостижимо и вернуться к п. 2 заменив  на большую величину.

Алгоритм организован по схеме последовательного поиска все более малого значения критерия и стабилизирующей обратной связи, обеспечивающей его достижение. Полученные в результате итерационной процедуры значение  , а также решения Р и Ω используются для синтеза робастного - субоптимального регулятора.

Относительно системы «испаритель-перегреватель» прямоточного парового котла проведем итерационные исследования. На первой итерации примем значение γ =0.01, при этом оба решения квадратичных матричных уравнений Риккати существуют и положительны, но , следовательно условие (11) не выполняется. Таким образом необходимо увеличить значение критерия толерантности и заново провести вычисления. После проведения нескольких итераций определим, что минимально возможное значение критерия толерантности γ=0.08, при этом максимальное сингулярное число результирующей матрицы равно 0,0711.

 

Выводы:

1.     Получена конкретная математическая модель объекта управления в пространстве состояния.

2.     Произведен синтез  - субоптимального регулятора в условиях наличия неопределённостей. Путем итерационных вычислений вычислено оптимальное значение критерия толерантности системы γ=0.08.

3.     Минимизировано влияния внешних возмущений на отклонение контролируемых выходов от заданных значений.

4.     Проведено моделирование системы с робастным регулятором [6], которое показало, что регулятор выполняет роль контролирующего органа в проблеме оптимального расхода воды и топлива в системе «испаритель-перегреватель» парового котла.

Литература

1.                     Двойнишников В.А.  и др. Конструкция и расчет котлов и котельных установок: Учебник для техникумов по специальности «Котлостроение»/ В.А. Двойнишников, Л.В. Деев, М.А. Изюмов. – М.: Машиностроение, 1988г.

2.                     Изерман Р. Цифровые системы управления. Перевод с английского. М. – Мир, 1984г.

3.                     Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных систем управления/пер. с англ. Под ред. Я.З. Цыпкина. – М.: Наука.Главная редакция физико-математической литературы, 1985г.

4.                     Ротач В.Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами. М. – Энергоатомиздат, 1985г.

5.                     Г.К. Гудвин, С.Ф. Гребе, М.Э. Сальгадо. Проектирование систем управления. Пер. с англ Е.М. Епанешникова, М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004г.

6.                     В.М. Перельмутер. Пакеты расширения MATLAB. Control System Toolbox, Robust Control Toolbox – М.: СОЛОН – ПРЕСС, 2008г. – 224с.