Технические науки/2. Механика

Вайс Г.Б.,  Дрожжин Д.Н.

Автомобильно-дорожный институт

Донецкого национального технического университета

Расчет частот и форм главных поперечных колебаний  системы с шестью степенями свободы

Рассматривается однородная балка длинною l,  шарнирно опертая на концах и нагруженная в точках   шестью грузами массой .  Момент инерции поперечного сечения балки J, модуль
 упругости Е. Массой балки пренебрегаем.

Рис.1.

Дифференциальные уравнения свободных колебаний системы с s степенями свободы можно представить в матричном виде

       

или                                                                               (1)

В уравнении (1)  а – матрица коэффициентов инерции; с – матрица жесткости.

Умножим обе части этого уравнения на матрицу a = с-1, получим

                        ,                                            (2)

где  А = a× а.

Матрица a есть симметричная матрица коэффициентов влияния (aij = aji ). 

Частные решения системы дифференциальных уравнений (1) имею вид

               ,                                (3)

Так как

                        ,

то                    

Обозначим 1/k2  через l, получим

                                  , или

а это значит, что  qj есть собственный вектор матрицы А с собственными значениями lj

Примем за обобщенные координаты системы вертикальные отклонения грузов от их равновесного положения у1 ,у2,…, у6. Тогда кинетическую энергию системы можно записать в виде

Из этой формулы определяем значения коэффициентов инерции:

                       

Коэффициенты влияния определяются из уравнения изогнутой оси балки, как абсолютные значения прогиба балки от единичной вертикальной силы, приложенной последовательно в центрах тяжести грузов на расстояниях  х и x от концов балки (рис.1).

Уравнение изогнутой оси балки слева от сосредоточенной силы Р имеет вид

                        ,

где х определяет сечение n n1, а x - точку приложения силы Р.

Следовательно, коэффициенты влияния определяются по формуле                                                         .

Перемножая матрицы a и а получим матрицу А, собственные значения которой есть величины обратные квадратам главных собственных частот системы, а их собственные вектора определяют формы этих колебаний, т.е их амплитуды.

Выполним расчет частот и форм главных колебаний в среде Mathcad.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1.     А.А Яблонский, С.С. Норейко Курс теории колебаний. М., «Высш. школа», 1975. 245 с.

2.     А.И. Плис, Н.А. Сливина. MATHCAD 2000. Математический практикум. – М.: Финансы и статистика, 2000. 656 с.