Алгоритм численного вычисления прямого быстрого непрерывного ВП

д.м.н. Кокуркин Г.В., к.ф.м.н Семенов В.И., Кокуркина Р. Г.

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

г. Чебоксары

Алгоритм численного вычисления прямого быстрого непрерывного вейвлет-преобразования

Вейвлет-анализ – это разложение исследуемого сигнала по функциям, локализованным как в физическом пространстве (время, координата) так и Фурье-пространстве (частота). Вейвлет-разложение проецирует одномерный сигнал на полуплоскость время – частота, что позволяет разделять разномасштабные события и исследовать зависимость спектральных характеристик от времени. Семейство вейвлет-функций генерируется из одной, «материнской», функции φ(t) при помощи растяжения (сжатия) и сдвига

за счёт операции сдвига во времени b и изменения временного масштаба a [1, 2, 3, 5]. Для заданных значений параметра a и b функция и есть вейвлет. Множитель обеспечивает независимость нормы этих функций от масштабирующего числа а. В общем случае этот множитель записывают в виде , где параметр k – показатель степени масштабного множителя. Конкретный выбор этого параметра зависит от целей анализа. Показатель степени масштабного множителя используется для того, чтобы сигнал на каждом масштабе имел одинаковую энергию, и если результаты вейвлет-анализа предполагается сравнивать с Фурье-представлением сигнала.

Применение алгоритмов непрерывного быстрого вейвлет-преобразования (ВП) для распознавания речи как одна из составляющих искусственного интеллекта давно привлекало исследователей. Несмотря на определенные успехи, достигнутые в этой области, ряд вопросов остается нерешенным. Речевой сигнал является примером нестационарного процесса, в котором информативным является сам факт изменения его частотно-временных характеристик. Для выполнения анализа таких процессов требуются базисные функции, обладающие способностью выявлять в анализируемом сигнале как его частотные, так и временные характеристики. Такими базисными функциями являются вейвлеты [1, 2, 4].

Цель исследования – представить алгоритм численного вычисления прямого непрерывного быстрого вейвлет-преобразования.

Алгоритм численного вычисления прямого непрерывного быстрого ВП сигнала S(t) в частотной области включает следующие шаги.

1. Вычисляются коэффициенты тригонометрического ряда сигнала S(k) с использованием прямого быстрого преобразования Фурье по формуле (1):

2. Вычисляются коэффициенты тригонометрического ряда сигнала S(k) с использованием прямого быстрого преобразования Фурье по формуле (2):

3. Вычисляются коэффициенты тригонометрического ряда вейвлета ψ(k) с использованием прямого быстрого преобразования Фурье по формуле (1).

4. Вычисляются коэффициенты тригонометрического ряда вейвлета ψ(k) с использованием прямого быстрого преобразования Фурье по формуле (2).

5. Вычисляется комплексно сопряженный спектр по формулам (3), (4):

Большинство непрерывных вейвлетов – либо четные, либо нечетные функции. Для четных вейвлетов ряд составлен из одних косинусов, а для нечетных – из одних синусов. Для четных вейвлетов согласно свойству 5 ПФ = 0. Используется формулы (5), (6):

Для нечетных вейвлетов согласно свойству 5 ПФ = 0. Используется формулы (7), (8):

6. Для четного вейвлета с М разными масштабными коэффициентами вейвлет-спектр W(a,b) (матрица вейвлет-коэффициентов М×N) для входного анализируемого сигнала длиной N отсчетов получается путем вычисления М обратных преобразований Фурье от комплексно сопряженного спектра (5), (6) по формуле (9):

7. Для нечетного вейвлета с М разными масштабными коэффициентами вейвлет-спектр W(a,b) (матрица вейвлет-коэффициентов М×N) для входного анализируемого сигнала длиной N отсчетов получается путем вычисления М обратных преобразований Фурье от комплексно сопряженного спектра (7), (8) по формуле (9).

Вычисление коэффициентов , производятся только с вейвлетом, а не с исследуемым сигналом, и могут быть вычислены заранее, а результаты расчетов храниться в ОЗУ или ПЗУ. Благодаря четности (нечетности) непрерывных вейвлетов количество умножений, сложений уменьшается по формулам (5–8) в 2 раза для каждого масштаба. Так же уменьшается в 2 раза количество памяти необходимой хранения Фурье-коэффициентов вейвлетов для каждого масштаба. Мы можем использовать это свойство для уменьшения памяти при хранении данных. Для малых масштабных коэффициентов а меньше памяти необходимо при хранении вейвлетов, для больших - меньше памяти необходимо при хранении их спектров. Так же меньше умножений необходимо по формулам (5–8) в частотной области, потому что отличны от нуля только низкочастотные составляющие спектра.

Использование децимации при увеличении масштабного коэффициента позволяет еще больше сократить число операций сложения и умножения. Децимация соответствует снижению частоты дискретизации, или удалению некоторых отсчетов из сигнала. Например, децимация в два раза означает, что из сигнала удаляется каждый второй отсчет. На высоких масштабах (нижних частотах) частота дискретизации может быть понижена в соответствии с теоремой Котельникова. При увеличении масштабного коэффициента а в восемь раз частота дискретизации может быть понижена в восемь раз, так как при увеличении масштаба разрешение по времени уменьшается, а разрешение по частоте увеличивается, т.е. для низкочастотной компоненты мы можем точнее указать значение частоты, но менее точно указать ее временную позицию.

Децимация для больших масштабных коэффициентов не ухудшает разрешения сигнала по времени, так как удаляемые отсчеты являются избыточными и не несут информации. Нет необходимости слишком детального описания сигнала, потому что при ВП с большим масштабным коэффициентом сигнал умножается на вейвлет и интегрируется на более широком временном интервале, чем при использовании вейвлета с малым масштабным коэффициентом. Например, вейвлет-коэффициенты для больших масштабных коэффициентов имеют одинаковые значения для большого интервала смещений b, если используется такая же частота дискретизации, как для малых значений масштабных коэффициентов. Поэтому использование децимации позволяет, не уменьшая количества информации, содержащейся в сигнале, т.е. не ухудшая разрешающую способность, уменьшить количество вычислений.

Чтобы исследовать вейвлет-спектр в одинаковой плоскости a b, после децимации необходимо использовать интерполяцию, т.е. увеличить частоту дискретизации. Интерполяция соответствует увеличению частоты дискретизации путем добавления новых отсчетов между вычисленными вейвлет-коэффициентами. В качестве новых отсчетов можно использовать нули или значения вычисленных вейвлет-коэффициентов. Использование децимации и интерполяции позволяет уменьшить время вычисления вейвлет-спектра, так как если применить равномерную дискретизацию, время вычисления вейвлет-коэффициентов растет пропорционально числу масштабных коэффициентов а.

Таким образом, разработанный алгоритм непрерывного ВП в частотной области намного эффективнее вычисления ВП прямым численным интегрированием. Применение разработанного алгоритма обратного непрерывного ВП позволяет с высокой скоростью и точностью реконструировать одномерные и двумерные сигналы.

Список литературы:

1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: Основы теории и принципы применения/ Н.М. Астафьева // УФН. 1996. Т. 166. № 11. ноябрь. С. 1145 – 1170.

2. Дремин И.Л. Вейвлеты и их использование /И.Л. Дремин, О.В. Иванов, В.А. Нечитайло // УФН. 2001. Т. 171. № 5. Стр. 465-501.

3. Кокуркин Г.В. Вейвлет-анализ сигналов частоты сердечного сокращения / Г.В. Кокуркин, В.И. Семенов, Р. Г. Кокуркина // Materialy ҲI мezinarodni vedecko - prakticka konference «vedecky prumysl evrop-skeho kontinentu 2015» . Dil 9. Praha. – 2015.- С. 34-39.

4. Новиков И.Я. Теория всплесков / И.Я. Новиков, В.Ю. Протасов, М.А. Скопина. М.: Физматлит, 2005. 616 с.

5. Яковлев А.Н. Основы вейвлет-преобразования /А.Н. Яковлев// М: Сайнс – Пресс, 2003. 79 с.