ЖУК В.И.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССОВ ЗАГРЯЗНЕНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ ПЫЛЕВИДНЫМИ ЧАСТИЦАМИ
Сформулируем следующую гидродинамическую задачу: пусть
имеется источник пылевидных частиц, который выбрасывает в окружающую среду
частицы определенного размера, формы и плотности и в некоторый момент времени
известны скорость и координаты каждой из них. Дальнейшее поведение любой
частицы, т.е. зависимость скорости и координат от времени, а также траекторию
частицы, можно предсказать на основе анализа независимого движения частицы в
несущем потоке. В общем случае на частицу, кроме обычных сил, могут
действовать: поле давлений в несущей жидкости (например, при вынужденном
течении или механическом перемешивании), силы инерции в неинерциальной системе
отсчета (например, при вращении) и другие возможные силы (например,
электромагнитные). Уравнение движения одиночной частицы симметричной формы
(сферы, протяженного цилиндра, диска) с учетом только гидродинамических сил
записывается в виде (1):
|
(1) |
Здесь - скорость движения частицы,
- скорость движения
частицы относительно несущей среды,
- скорость
движения несущей среды,
- плотность частицы,
, n - плотность и вязкость несущей
среды, x - коэффициент присоединенной массы (для сферы x=1/2,
для поперечно обтекаемого цилиндра x=1, для поперечно обтекаемого диска x=1), R – радиус сферы, цилиндра или диска,
- ускорение силы
тяжести, Ñp – градиент давления в жидкости, не
связанный с действием гравитации,
- угловая скорость
вращения частицы. Коэффициент гидродинамического сопротивления z выбирается
в соответствии с числом Рейнольдса частицы
. В уравнении (1) учтены эффект присоединенной массы для
сферической частицы, силы тяжести и Архимеда, гидродинамическое сопротивление
движению частицы, сила Магнуса, обусловленная эффектом вращения частицы и сила
Бассэ, обусловленная нестационарными эффектами и зависящая от предыстории
движения частицы. В дальнейшем последними двумя членами в уравнении (1) будем
пренебрегать, так как в рамках бесстолкновительной модели вращение отсутствует,
а ускорения, испытываемые частицами в обычных условиях, невелики. Последующим
этапом решения является определение координат частиц из уравнения (2):
|
(2) |
где - радиус-вектор
частицы. Для определения вида траектории и скорости движения частицы необходимо
задать начальные условия для координат и скорости:
|
|
(3) |
Решение уравнений (1-3) в общем виде не представляется
возможным, так как поле скоростей несущего потока является обычно сложной
функцией координат и времени. Теоретический анализ возможен в следующих частных
случаях:
1) стационарное течение, когда скорость
несущего потока не зависит от времени, и известны профили скорости течения в
пространстве. При малых значениях числа Рейнольдса система уравнений может быть
проинтегрирована в квадратурах.
2) квазистационарный режим течения,
когда изменением скорости несущего потока со временем можно пренебречь.
3) нестационарное течение с однородной в
пространстве скоростью. В случае нестационарного потока в среде с пренебрежимо
малой вязкостью, когда скорость течения одинакова во всех точках, система
допускает решение в аналитическом виде.
В первых двух режимах течения уравнение (1) существенно упрощается и для
сферической частицы запишется в виде (4):
|
(4) |
Решение этого уравнения с учетом начальных условий (3) имеет вид (5):
|
(5) |
где ,
- скорость Стокса. Введем понятие времени релаксации, то есть
времени, в течение которого скорость можно считать установившейся:
. Если время релаксации пренебрежимо мало в сравнении с
полным временем движения частицы (t>>t), процесс становится стабильным, при
этом скорость движения частицы представляется как результат суперпозиции
(наложения) скорости течения и скорости Стокса в виде (6):
|
(6) |
Учитывая, что скорость Стокса направлена к поверхности Земли, расчет
траекторий движения частиц в этом случае существенно упрощается. Например,
очевидно, что при медленном прохождении вихря над источником загрязнения
траектории частиц будут представлять собой спирали, закручивающиеся к
поверхности Земли.
В случае нестационарного потока в среде с пренебрежимо
малой вязкостью, когда скорость течения одинакова во всех точках, система
допускает решение в аналитическом виде.
В более сложных пространственно-временных течениях,
например, в случае естественной нестационарной тепловой и концентрационной
конвекции в атмосфере, применяются численные методы.
Представленная математическая модель может быть
использована для решения численными методами следующих актуальных задач
экологии:
прогноз запыленности данной местности
с учетом её рельефа, розы ветров, расположения источников загрязнения среды, их
параметров и мощности, характера выбросов и других факторов;
анализ распространения радиоактивных частиц в атмосфере
вследствие техногенных катастроф, аварий на АЭС и по другим причинам.