С. І. Владов, В. О. Мосьпан, к .т .н. доц., О. О. Юрко, к. т. н., доц.

Кременчуцький національний університет імені Михайла Остроградського, м. Кременчук, Україна

Постановка задачі про коливання кровотоку в системі кровообігу людини

Було запропоновано розглядати систему кровообігу людину у вигляді довгої ліній [1]. Така система в загальному випадку складається із кровоносних судин різного прохідного перетину, з різними пружними характеристиками, а також включають різного роду зосереджені елементи типу ємностей тощо. Наявність у системі кровообігу зосереджених неоднорідностей та розподілених ділянок з безупинно або дискретно мінливим характеристикам призводить до ускладнення опису погонних параметрів довгої лінії.

Для реалізації поставленого завдання складну систему кровообігу представляють у вигляді однониткових кровоносних судин з безупинно мінливими по довжині площею прохідного перетину та пружними характеристиками. Тоді несталий рух крові описуються рівняннями довгої лінії [1]:

(1)

До системи рівнянь (1) необхідно додати початкові та граничні умови, а також умови сполучення в перетинах стику та вузлах розгалуження кровоносних судин.

Початкові умови.

Початкові умови визначаються розподілом швидкості кровотоку (тиску крові) в початковий момент часу в кожній простій кровоносній судині:

(2)

(3)

Часто в якості початкових умов використовують відомі Q_ji(x_ji) та P_ji(x_ji) на стаціонарному режимі, або ж їх значення, отримані в результаті рішення системи рівнянь (1) в попередній момент часу.

Граничні умови на стику простих кровоносних судин (умови сполучення).

Розглянемо дві суміжні прості судини складної системи кровообігу людини, що мають різні пружні характеристики та площі прохідного перетину. Будемо вважати, що в перетині стику простих кровоносних судин виконується умова безперервності швидкості кровотоку та кров’яного тиску:

(4)

(5)

Розглянемо тепер граничну умову у вузлі розгалуження (рис. 1). Зневажаючи об’ємом, наявним у вузлі розгалуження, умови безперервності швидкості кровотоку та кров’яного тиску приймають наступний вид:

(6)

(7)

Рисунок 1 – Вузол розгалуження

Граничні умови у кінцевих перетинах відгалужень.

Для вирішення системи рівнянь (1), окрім початкових умов та умов сполучення, необхідно також знати закон зміни параметрів (у даному випадку витрат крові та тиску) у кінцевих перетинах кровоносних судин.

Оскільки кров безперервно циркулюється по судинам, то а тиск навколишнього середовища вважається постійним, то

Кров’яний тиск або швидкість кровотоку в перетині є функцією часу:

У загальній постановці задачі граничні умови можуть бути задані у вигляді:

(8)

При та гранична умова (2.19) відповідає випадку, коли в кінцевому перетині кровоносної судини розташовано зосереджений «активний» опір (артеріальна система → капілярна система).

Перехідні процеси в системі кровообігу мають часові масштаби, що становлять соті й тисячні частки секунди. Тому при побудові математичної моделі системи кровообігу людини першорядної важливості є питання, пов'язані з визначенням основних динамічних характеристик цієї системи, а саме: визначення власних частот та декрементів коливань кровотоку в системі; визначення частотних характеристик системи; визначення релаксаційних явищ у системі.

Урахування релаксаційних явищ при розрахунках вільних коливань кровотоку в системі кровообігу людини викликане не тільки теоретичними міркуваннями. Релаксаційні процеси можуть приводити до значної дисперсії швидкості кровотоку та додаткової дисипації (перехід частини енергії впорядкованих процесів в енергію неупорядкованих процесів, в остаточному підсумку – у тепло) енергії, що часто перевищує класичну (в’язкісну) дисипацію. Тому не урахування релаксаційних явищ у математичній моделі системи кровообігу людини може призвести до неточного визначення частот та коефіцієнтів загасання коливань кровотоку в системі кровообігу людини.

Розглянемо систему, що складається в загальному випадку з N однониткових кровоносних судин. Кожна однониткова судина складається з n_j простих посудин. Позначимо просту кровоносну судину індексом ji, де i = 1,2,…n_j – номер простої кровоносної судини, що входить в j – відгалуження.

Як описано в [1], при обраній розрахунковій схемі (представлення системи кровообігу у вигляді узгодженої довгої лінії) зосереджені неоднорідності (ємності кровоносних судин, інерційні індуктивності тощо) представляються у вигляді простих розподілених кровоносних судин. У перетинах стику та вузлах розгалуження виконується умова безперервності швидкості кровотоку та тиску.

У такій постановці для розв'язку розглянутого питання необхідно провести дослідження наступної крайової задачі:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

де (9) – система рівнянь довгої лінії, які характеризують модель системи кровообігу людини; (10) – початкові умови; (11) – умови сполучення на стику простих кровоносних судин; (12) і (13) – умови сполучення у вузлах розгалуження судин; (14) і (15) – граничні умови у кінцевих перетинах відгалужень; τ_m – час релаксації; α та β – коефіцієнти.

Висновки

У даній роботі було поставлено крайову задачу щодо реалізації запропонованої моделі системи кровообігу людини у вигляді довгої лінії. Поставлену задачу було складено на основі рівнянь довгої лінії, які характеризують рух крові, початкових умов, умови сполучення на стику простих кровоносних судин, умови сполучення у вузлах розгалуження судин та граничних умов у кінцевих перетинах відгалужень. Поставлена задача вирішується шляхом розв’язку рівнянь довгої лінії за допомогою передавальних функцій та складанням математичної моделі, яка характеризує релаксаційні процеси в системі кровообігу людини.

Література

1. С.І. Владов, В.О. Мосьпан. Модель системи кровообігу людини у вигляді неоднорідної узгодженої довгої лінії з розподіленими параметрами // Вісник Кременчуцького національного університету імені Михайла Остроградського. – Кременчук: КрНУ, 2012. – Вип. 2/2012 (73). – С. 56–59.

2. Биофизика / [Владимиров Ю.А., Рощупкин Д.И., Потапенко А.Я., Деев А.И.]. – М.: Медицина, 1983. – С. 225–236.

3. Есаков С.А. Возрастная анатомия и физиология: курс лекций. – Ижевск: ГОУВПО "УдГУ", Биологическо-химический факультет, Кафедра анатомии и физиологии человека и животных, 2010. – 194 с.

4. Биофизика / [Антонов В.Ф., Черныш А.М., Пасечник В.И. и др.]. – М.: Владос, 2003. – С. 201–210.

5. Механика кровообращения / [К. Каро, Т. Педли, Р. Шротер, У. Сид.]. –М.: Мир, 1981. – С. 220–224.

6. Покровский В.М. Физиология человека / Коротько М.В. – М.: Медицина, 1997. – 156 с.

7. Беляев Н.М. Реактивные системы управления космических летательных аппаратов / Белик Н.П., Уваров Е.И. – М.: Машиностроение, 1979. – С. 92–115.