Абдуллаева Х.С.

А.Яасауи атындағы ХҚТУ-нің  докторанты

 

Құрылғылардың  кернеулік  күйін ақырлы  элементтермен  модельдеу

 

       Қазіргі кезде  кернеулі – деформациялық  күйді көлемді  (үш  өлшемді)  элементтер  базасында  анықтайтын  әдістер  актуальды    болып  табылады. Шынында да, күрделі  геометриялы  құрылғының үш өлшемді  элементтерінің  кернеулі – деформациялық  күйін  талдау  үшін үш өлшемді  элементтерді  қолдану  қажет,  сонымен  қатар олар  қабықшалардың қиылысу беттерінде  шоғырланған  жүктемелердің  қолданбалы  аймағында  және   нүктелік  бекіту  аймағында  да пайдаланылады.                                         

     Бірінші  этапта есептегі  параметрлеу  жағы  қарастырылады. Күрделі   формалы  6 жақтан  және  12 қисық  сызықты  қырлардан  құралған күрделі  геометриялы үш өлшемді  облысының  бір байланысты  облыстар  құрылғы  элементінің  мүмкіндік формасын  кең  көлемде  қамтиды. Бұл  жағдайда  геометриялы күрделі облысы болатын құрылымды кез – келген координаталар  жүйесінде  қарастыруға  болады.. Бір байланысты үш өлшемді  облыстан  екі қарама – қарсы  жақтарын түйістіре  отырып,  күрделі  геометрияның  екі  байланысты  облысын алу  қиын емес.

      Көлемі  болатын қарастырылып  отырған  күрделі  геометрияның   үш өлшемді  объектісі    бірлік  кубтың   қисық  сызықты

 

координаталарымен беріледі,  осылайша    облысындағы тікбұрышты торға қисықсызықты  кеңістіктің   торы  сәйкес келу  керек:

                                                           

                                                                                                   (1)

 

Келтірілген өрнекті   бойынша  дифференциалдап,    координаттық  векторларды  анықтаймыз:

                      

                                                                                  (2)

        Метрикалық тензор  компоненттері  және метрикалық тензорының    дискриминанты  төмендегіше  анықталады:

 

          ,  ,  ,  ,  ,    

                                  (3)

 

және    Кристофель  символы     

     

                                                                                   (4)

      

      Жалпы  жағдайда,  көпбайланысты  облысты, сондай - ақ  қарастыру  үшін,  күрделі  геометриялық  үш  өлшемді  облысты жеке  үш өлшемді 12 қыры  бар немесе  мүлде  қыры  жоқ  облысты  блоктарға  (суперэлементтерге)  бөлу  арқылы қарастыруға  болады.12 қыры  жоқ  немесе  мүлде  қыры  жоқ  болатын  кез – келген күрделі облысты  12 қырлы  блоктарға  бөлуге  болады. Мысалы: қыры  жоқ  облысты 7  блокқа  бөлуге  болады.  Облыстың  бетінен 8  нүктені  белгілейміз. (A, B, C, D, E, F, G, H),  облыстың  ішінен 12 қырлы  центрлік  блокты  таңдаймыз (a, b, c, d, e, f ,g, h)   

A – a, B – b, C – c, D – d, E – e, F – f, G – g, H – h  сәйкес  нүктелерін  біріктіре  отырып,  тағы да  6  блокты  құрастырамыз.Ал, 6 қыры  бар  облысты  (2 – сурет) – күрделі  геометриялы KLMN үшбұрышты  пирамидасын  4  блокқа  бөлуге  болады: беттік жағынан  (A, B, C, D)  және  қырларынан (a, b, c, d) нүктелерін таңдаймыз, A – a, B – b, C – c, D – d, E – e, F – f, G – g, H – h  сәйкес  нүктелерін  біріктіре отырып,  үшбұрышты  пирамиданың  ішінен G нүктесін  таңдап, A – G, B – G, C – G, D – G  нүктелеін  біріктіреміз. Осыдан  12 қырлы  төрт  блок  пайда  болады, мысалы,  шеттері GAaB, GBbC6, GCcA, AaNc, BbNa, CcNb болатын  жоғарғы  блок. Күрделі  геометриялы  үшбұрышты  пирамида  арқылы  кез – келген  күрделі  облысты  сипаттауға  болады.                         

    Геометриялық   қатынастарды  мына  түрде  жазуға  болады:

                                    ,                            (5)

 мұнда  - деформация  тензорының  ковариантты  компоненті,  - айнымалы  вектордың  ковариантты  компоненті. Біртекті  изотропты  дене  үшін физикалық  қатынасты  төмендегіше  анықтауға  болады:                              

            

                          .                           (6)

 

мұнда   -    кернеу  және  деформация  тензорының  компоненттері.

 - қарастырылып  отырған  облыс материалын  сипаттайтын  параметрлер.

     Қарастырылып  отырған  бірлік  кубты  облысы  ақырлы  элементтерге  бөлшектенеді  және   шешімдерінің  әрқайсысы  үш  айнымалы  интерполяциялық  эрмиттік  кубтық  сплайн  түрінде  беріледі:

 

                                   

 

                                                                        (7)

    

                                   

 

        

             ,   , ,  ,  ,

 мұнда   - сәйкесінше  үш  координаталық   сызықтар  бойынша  координаттық  функциялар  векторлары.   - ізделінді белгісіздер,  және  сәйкесінше  олардың  туындылары компоненттерінің үш  өлшемді  матрицалары.   

     Тордың  түйінінің  орын  ауыстыру  векторлары мен  олардың  туындылары  ковариант компоненттері. Мысалы   үшін  мына  символдармен  белгіленеді:

                 ,  ,  , , ,                                                                                                                                    

                           ,                                                    (8)                                                               

 

     Лагранж  вариациялық  теңдеуінен  шешуші   қатынастар  шығады:

                                           (9)

      

         мұнда   - үш өлшемді  дене  деформациясынынң меншікті  потенциалды  энергиясы,  -  массалық  және  беттік  күш  векторынынң  ковариантты  компоненттері,    - массалық  тығыздық,  - өлшемдік  тензор  матрицасының  анықтауышы,   - дененің  бүйір  жағының  беті. 

  Орын  ауыстыру  мен  деформация вариациясын алмастыра  отырып,  орын  ауыстырулар  және  олардың  туындыларының  тәуелсіз  екендігін  ескере  отырып, алгебралық  теңдеулер жүйесі  алынады:

                  

                                                                                                          (10)

 

 мұнда   - жүйесінің  ленталы  құрылымды   симметриялы  қатаңдық  матрицасы,  - белгісіздер  векторы,  - жүктеме  векторы,  .

       Қарапайым  жағдайда  регуляр  тор  үшін  болса,  мұнда    үш  бағыттағы  түйіндердің  саны. Бірлік  кубтағы  параллелепипедтердің 

 

ақырлы  элементері  болмаған  жағдайда – теңдеулер  саны  кемиді. Қарастырылып  отырған  өлшемде  кейбір  ақырлы  элементтерді  жоя  отырып, әртүрлі  толықтырушы конфигурациялар, сонымен  қатар  көп байланысты  облыстарды  құруға  болады. Берілген  түйіндерге қосымша координаталы  түйіндер  енгізе  отырып қосымша  ішкі  жақтар  құруға  болады, мысалы,  бір  жақты  және  өн бойы сызат  болатын  қосымша  ішкі жақтарды  алу  қиын  емес.

       жалпы  қатаңдық  матрицасы әрбір  ақырлы  элементте  интегралдау  жолымен  алынатын  әрбір үш өлшемді ақырлы  элементті қатаңдық  матрицасынан жинақталады. Интегралдау  барысында  8  түйінді  схема  бойынша  Гаусстың квадратуралық   формуласы  қолданылады. Қатаңдық  матрицасын  қалыптастыру  барысында  барлық  операциялар  матрицалық  формада  орындалады. Осыдан  интегралдардың  құрылымы  бірдей  болады.Есептеу  қосарлы  дәлдікпен орындалады. Мұның  барлығы ЭЕМ ресурсын  үнемдеуге  және ақиқат  нәтижелерді  алуға  мүмкіндік  береді.

       Күрделі  геометриялы  формалы  немесе  берілген  шеттік  шартты дене керенеулі  күй  есебінің аналитикалық  шешімі  болмаса,  онда  оны  ақырлы  элементтер  әдісімен  шешуге болады. Күрделі геометриялы  дененің  кернеулі – деформациялы  күй  есебін  суперэлементтерді  қолдана  отырып қарастырайық. Температуралық  өрісте  орналасқан  оське симметриялы  күрделі  формалы   цилиндрлі  дене  қарастырылады (3-сурет). Дененің  материалы  біртекті  емес,  ортотропты  және  температураның  деңгейіне  тәуелді.  орын ауыстыру  векторы,  және  кернеу  векторы  бір  қабаттан  екінші бір  қабатқа  өту  барысында  үзіліссіз  өзгереді. Әрбір  қабаттың  массасы ескеріледі.

      Дененің  ішкі,  сыртқы  және  шетжақ  бетінде  әртүрлі  шеттік  шарттар төмендегіше  болады:

                        

                 ,   немесе  болғанда                   (11)

                ,   немесе  болғанда                  (12)

               ,   немесе  болғанда          (13)

              ,   немесе  болғанда          (14)

 

     Мұнда ,  дененің  сыртқы бетінің  және ішкі бетінің теңдеуі  Дененің  ішкі  бөлігінде  конструкция  бекітілген  болуы  мүмкін. Ізделінді  дене (сақиналы) төртбұрышты  бірнеше  суперэлементтерге бөлінеді. Әрбір  суперэлемент  сақиналы  үшбұрышты  элементтерге  бөлінеді . Әрбір  суперэлемент үшін  мынадай  теңдеулер  жүйесі  құрылады:

                                                                                                      (15)

 

 

 - жүйенің  қатаңдық  матрицасы,  - орын  ауыстыру  векторы.  -  ішкі  күш  векторы. Контакт  бетіндегі  көрші  суперэлементтердің  кернеулі  және  орын  ауыстыру  векторларының  үзіліссіздік  шарты  итерация  жолымен  орындалады. Көрші  екі  суперэлементтің  контактті  беті  сол  суперэлементтердің  шеті  болып табылады. Бір  суперэлементтің  ішкі  бетіндегі шартты  қарастырғанда, онда  орын  ауыстыру  вектор  компоненті  берілген  деп  есептелінеді, ал, құрама  көрші  суперэлементтердің  шетін  қарастырғанда,  онда  вектор  күш  компоненті  берілген  деп  есептелінеді.

3 – суретте   суперэлементтің  екінші  орын  ауыстыру  компоненті  берілген, ал  суперэлементінің  4 шетінде  күш  компоненті  берілген.  Осылайша  қию  әдісімен  суперэлементі   компонентті  белгісіз күш  факторымен  суперэлементіне  ауыстырылады. Осындай  таңдаудан  суперэлементіне  жанасушы  облысының  үшбұрышты  элементтерін  табуға  болады:

 

                                                                (16)

 

мұнда  - күш  бағытын  көрсетеді,  -  үшбұрышты  элементтің  түйіндерінде  пайда   болатын  күш,  -  үшбұрышты  сақиналы  элементтің   төбелерінің  радиалды  және  осьтік  орын  ауысу  компоненттері.  - үшбұрышты  элементтің  қатаңдық  матрицасының  элементі. Егер  (16)  теңдігіндегі  орын  ауысу  белгілі  деп  есептесек,  онда    суперэлементіне  облысы  жағынан  әсер  етуші  күш  есептелінеді.  суперэлементінің   матрицасының  элементтерін  құрау  барысында  - ге  жанасушы  қатаңдық  үлесі және  облысына  тиісті  үшбұрышты  элемент  ескеріледі.

         облысы  үшін  (15)  теңдеулер  жүйесінің  шешімінің  нәтижесінде 4 шетіндегі  орын  ауыстыру  нүктелері  табылады.  Бұл  орын  ауыстыру  мәндері   суперэлементінің  2 шегіндегі  орын  ауыстырулармен  беріледі  және  осы  облыстағы  келесі  итерацияның  шешімін  алу  барысында ескеріледі.  Екі  көрші  итерациядан  алынған  контактілі  шектің  орын  ауыстыру  нүктелерінің  мәні  әр  жолы  салыстырылып  отырады.

       Бірнеше  суперэлементтердің  ерекше  деп  аталатын  жалпы  нүктелері  бар  болсын. Ерекше  нүктелердегі  матрицасының  элементтерін  құру  барысында  барлық  көрші  ішкі  облыстарға  тиісті  сақиналы  элементтердің қатаңдық  үлесі  ескеріледі.

       Ерекше  нүктеге  әсер  етушу  ішкі  жүктеме  (16)  ұқсас  формула  бойынша  есептелінеді.  суперэлементі  үшін  (15)  теңдеулер  жүйесінің шешімінің  нәтижесінде  ерекше  нүктеде  орын  ауыстыру  компоненті 

 

табылады.  Бұл  ерекше  нүктелердің  орын  ауыстыру  компоненттерінің  мәндері  барлық  көрші  суперэлементтер   үшін  (15)  теңдеулерді  шешу  барысында  қолданылады.

      Суперэлементтің  контактілі  шегіндегі  нүктеде  және  ерекше  нүктеде   орын  ауыстыру  векторы  итерация  әдісімен  мына  формула  бойынша  ізделінеді:

                               ,                                   (17)

және  айырымы  берілген  мейлінше  аз  - шамамен салыстырылады.

Мұнда  - орын  ауыстыру  векторының өсімшесі,  - интеграция  нөмірі. Бірінші  итерация  барысында  контакт  бетінде  жатқан  түйін  нүктелерінің  орын  ауыстыру  компоненттерінде  кейбір  мәндер  беріледі.  Егер  мына  шарт орындалса

                                                

 

орын ауыстыру  компоненттері табылды  деп  есептелінеді.                                          Сипатталған алгоритм үшін  программаны  жүзеге  асыру  үш  этаптан  тұрады.  Бірінші  этапта – суперэлементтердің  қатаңдық  матрицасы  құрылады  және  ол ЭЕМ – ның  есте  сақтау  құрылғысына  жазылады.  Екінші  этапта -  әрбір  суперэлемент  үшін  құрылған (15)  теңдеулер  жүйесі  квадрат  түбір  әдісімен  шығарылады. Егер    және  қажетті  дәлдігі  контакт  бетінде  қанағаттандырылса немесе  берілген итерация  саны  орындалса, онда  алынған  орын  ауыстыру  компоненттерінің  мәндері  (15)  теңдеуінің шешімі деп  есептелінеді. Соңғы  этапта - әрбір  суперэлементтің  кернеулі – деформациялы  күйі (5) – (6)  формулалар  бойынша  анықталады.

        Денелерді  суперэлементтерге  бөлу  өте күрделі  облыстар  үшін  есептеулер   жүргізуге  мүмкіндік  береді. Сақыналы  үшбұрышты  элементтің  аксиальді  қимасы  үшбұрыш  түрінде  кескінделеді. Қабықшадағы  үшбұрышты  элемент  (15)  теңдеулер  жүйесіндегі 

 матрицасын  алуға  болатындай  дұрыс  үшбұрыш  емес. Мұндай  кемшіліктерден  суперэлементтер арылған деп есептеуге  болады. Суперэлементтерді  қолдану барысында  әрбір  ішкі  облыстар  дұрыс  үшбұрышты  элементтердің  суперпозициясы  түрінде  алынған.

       Төменде  2  суперэлементтен  құралған  цилиндрлік  дененің (қабықша  және  толтырғыш)  кернеулі – деформациялы  күй  есебі қарастырылған. Қабықша  және  толтырғыш  жеке  суперэлемент  түрінде  қарастырылды

 (1 – сурет). Параметрлердің  мынадай  мәндерінде  сандық  нәтижелер  алынған:

                , ,  ,  ,

         

               ,  , , , ,  

 

 

  2 – суретте  контакт  бетінде   пайда   болған  радиальды  және  осьтік  орын  ауыстырулар  көрсетілген. Бұл  нәтижелер  практикада алынған  сандық  нәтижелермен  сәйкес  келеді. Осьтік  кернеу салыстырғанда,  контакт  бетінің  төменгі  жағындағы  қабықшада  пайда  болған  осьтік  кернеу  толтырғыштағы  осьтік  кернеуді 8  есе  арттыратыны  көрсетілген.

                                                                            

   

а) Цилиндрлік  қабатты  дене
 

б) Суперэлементтерге  бөлу
 
 

 


1-сурет

 

                                              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 – сурет