М.Ж. Жумабаев

доктор  физико-математических наук,

МКТУ им.Х.А.Яасауи

Абдуллаева Х.С.

докторант  МКТУ им.Х.А.Яасауи

 

Об одной термоупругой задаче  цилиндра

 

   Аналитическое решение задачи о напряженно-деформированном

состоянии  составного  цилиндра с большим  числом  слоев  представляет  определенные трудности. Особенно оно затруднено,если уровни температуры таковы, что  необходимо учитывать зависимость от них  свойств  материала . В связи с этим имеет интерес разработка  численного метода решения задачи   о напряженно-деформированном  состоянии многослойных  цилиндрических тел. Ниже приведены постановка задачи, основные уравнение и алгоритм решения подавленный задачи и результаты решения одной  частной  задачи.

 Постановка задачи:  Рассматривается  многослойный цилиндр, состоящий из N слоев, R0, RN-внутренний  и  внешний радиусы  (). Составной  цилиндр находится  осесимметричном  температурном  поле, . Слои  составлены из  имеющих   различные  упругие  и термические  свойства  материалов.

Считается,  что  физико-механические  характеристики  материала  каждого  слоя-модуль  сдвига  ,коэффициент  Пуассона , коэффициент  линейного расширения   (і-текущий i=1,…,N) – зависят  от уровня  температуры  и являются   экспериментально  определенными  функциями.Предпологается,что все слои деформируются  без скольжения и отрыва, компоненты  напряжений на площадках, касательных  к  поверхности контакта, не имеют разрывов.

Основные уравнения:

 В случае  осесимметричной  деформации  цилиндра

                                                                  

                                                                                          при                               (1)

                                                                                        

                                             

                

 i=1,2,…,N-1.  Здесь - радиус контактной поверхности  i- ого  и  (i+1)-ого слоев, -радиальное перемещение,-радиальное напряжение  в i-ом слое.      

Условие теплового  контакта  любого  слоя с соседним  слоем  имеет  вид

                                                        при                                  (2)

 

i=1,2,…,N-1.Уравнение равновесие для  каждого i-ого слоя запишется в виде

 

                                                                                  (3)

 

    Здесь -кольцевое напряжение в i-ом слое.Деформации  в  i-ом слое  определяются  через  радиальное  перемещение с помощью зависимостей

 

                                                                              (4)

 

  В  дальнейшем используются  следующие безразмерные  параметры  

 

                                           

 

                                                    (5)

 

                          

 

Уравнения  равновесия  кинематические  соотношения   и  физические  зависимости   Дюгамеля –Неймана  при  использовании  безразмерных  параметров   приводятся  к  системе,состоящей из двух  дифференциальных  уравнений

                                                                          (6)

 

и  двух  алгебраических  соотношений

 

                                                                        (7)

     Элементы матрицы А, компоненты  вектора   и   скалярные 

коэффициенты     определяются  равенствами

 

                                                      

 

                                                                            (8)

 

                                                            

                                       

 

 

                             

 

 

для  плоской  деформации и

 

                                                             

                                                

                                                                                                                         (9)

                                 

 

                                       

 

                                  

 

  для  плоского  напряженного  состояния.   Здесь 

Таким  образом, для  определения  состояния  каждого  слоя  имеется линейная  система  дифференциальных  уравнений  (6) с переменными  коэффициентами   

  

     Алгоритм решения. Решения системы уравнений (6)находится численно в виде суперпозиции  двух линейно-независимых  решений задачи  Коши для каждого слоя. При этом  толщина  і-ого  слоя  делится  на   Мі (i=1,2,…,N)  равных отрезков в радиальном  направлении. На  каждом  из отрезков температура аппроксимируется  линейно между заданными  еë значениями на концах отрезка. Из экспериментальной кривой ()

для  каждого  уровня  температуры  в каждой  точке  отрезка   

 здесь (к=0,1,2,…,Мі-1)  находятся текущие значение параметров .После этого  по формулам  (8), (9) полностью определяются  элементы  матрицы А, компоненты  вектора  и  коэффициенты    (к=1,2,3).Тем  самым, в каждой точке  отрезка   уравнения  (6),(7) становятся  определенными.

       Для каждого слоя при двух линейно-независимых  условиях  на   внутренней  его  поверхностей      методом   Рунге-Кутта  с   модификацией  Мерсона  численно решается  система линейных     дифференциальных уравнений (6) с переменными  коэффициентами  (8), (9)    при заданном по r распределении  температуры  T(r). Это позволяет установить

для каждого слоя  найти два линейно независимых  решения  Применением  метода линейных комбинаций интегралов находится  общее решения для  і-ого слоя  в виде  . Здесь - константы  (j=1,2. i=1,2,…,N)  общее  число которых  равно  2*N. Условия  контакта  между  слоями  (1) позволяют  установить  2*N-2 алгебраических  относительно  постоянных   уравнений.Недостающими  уравнениями  являются  условия, заданные на внутренней ( ) и  наружной  () поверхностях  многослойного  цилиндра. В общем случае всевозможные граничные  условия  на  внутренней  и  наружной  поверхностях  запишутся  в  виде

 

                                                                      (10)

 

В зависимости  от  значений  заданных  компонент  векторов    можно  получить  все  возможные  типы  граничных  условий  для  многослойного  цилиндра. Например, если  векторы    заданы  в виде , то внутренная  поверхность  ( )  жестко  закреплена, а наружная  ()   поверхность  свободно  от напряжений. Таким  образом, для  определения  постоянных  интегрирования    получается  система  из  2*N  алгебраических  уравнений                                          

                                                                (11)

 

       Решение  системы  (11)  позволяет определить  постоянные    

( j=1,2, i=1,2,…,N).  Применяя  для  каждого слоя  метода   линейных  комбинаций интегралов, можно  найти  решение  .Остальные  компоненты напряжений  и  деформации находятся  по  формулам  (7),(8),(9)  для  каждого  слоя  многослойного  цилиндра.

     Численная реализация поставленной задачи осуществлена следующим образом. Толщина  цилиндра (в радиальном направлении r) делится на n равных отрезков. На каждом из отрезков температура аппроксимируется линейно между заданными ее значениями на концах отрезков. Из экспериментально построенных кривых m =m(Т), n=n(Т), a=a(Т)  для данного уровня температуры в каждой точке отрезка  [ ri ,  ri+1] находятся текущее значение параметров .

При интегрировании задачи Коши удобно использовать одношаговые методы, представляющие собой различные модификации методов Рунге - Кутта. Длина каждого отрезка h = (R2 – R1) / n является шагом метода.

Для проведения расчетов рассматривался толстостенный однослойный цилиндр R1=4,5 см, R2= 18 см. По внешнему контуру цилиндр жестко закреплен. Внутренняя поверхность свободна от напряжений.

Конкретно рассматривались следующие  случаи:

1. Механические и теплофизические характеристики материала не зависят от температуры. В этом случае, за модуль сдвига μ, коэффициент Пуассона n и коэффициент линейного  расширения α принимались значения этих параметров, соответствующие нормальной температуре 150С. Соответствующие этому случаю расчетные кривые обозначены через 1 на  рис. 1 – 2.

2. Модуль сдвига зависит от температуры μ=μ(Т), а коэффициент Пуассона  и коэффициент линейного  расширения не зависят от неё – постоянны. Полученные численные  результаты  в  этом  случае  обозначены  через  2.

3. Модуль сдвига, коэффициент Пуассона зависят от температуры, коэффициент  линейного  расширения  считается  постоянным.  Кривые, соответствующие этому случаю, обозначены  через  3.

4. Модуль сдвига и коэффициент линейного расширения зависят от температуры, коэффициент  Пуассона считается постоянным. Кривые, соответствующие этому случаю,  обозначены  через  4.

5. Все характеристики материала зависят от температуры. В расчетах используются кривые m=m(Т), n=n(Т), a=a(Т).

На  рис. 1 представлены вычисленные значения перемещений для выше  отмеченных случаев длинного толстостенного цилиндра.

Исследовано изменение радиальных напряжений по толщине толстостенного цилиндра.  Данные  кривой, соответствующие  случаю 3, на 30 % меньше, чем  данные кривой 1 на  внешней  поверхности. Радиальное  напряжение  на  r*=R1/R2 , соответствующее  случаю  4, на  50 %  меньше  радиальных  напряжений, соответствующих  случаю 1. При  изменении  всех  параметров  от  температуры  радиальные  напряжения  во  всех  точках  цилиндра  возрастают. Во  всех  рассмотренных случаях радиальные напряжения являются сжимающими.

     Также изучены окружные напряжения. Кривые окружных напряжений, соответствующие случаям 3, 4 находятся между кривыми, соответствующими  случаям 1 и 2. Кривая, соответствующая  случаю, когда  физико – механические  свойства  считаются  зависящими  от 

температуры, лежит ниже, чем  кривые  1, 2, 3, 4. Окружные напряжения, как и радиальные напряжения всюду являются сжимающими. Возникновение сжимающих радиальных и окружных напряжений обусловлено  нагреванием  толстостенного  цилиндра  и  условием закрепления его на наружной поверхности   r =1.

                        Рис. 1.  Распределение радиальных перемещений по толщине

                                                           цилиндра.

                                

 

 

 

 

      

 

 

 

 

 

Осевые  напряжения  для  всех  случаев  являются  сжимающими.  Осевые  напряжения  во всех  случаях  на 2/3  части толщины  с внутренней стороны почти постоянные, на  остальной  части  возрастают. Такое распределение осевых  напряжений  по  толщине связано с принятым характером распределения температуры по радиусу цилиндра.

Из полученных численных результатов видно, что в рамках проведенных исследований зависимость модуля сдвига от температуры m = m(Т) оказывает незначительное влияние на деформированное состояние, но оказывает заметное влияние на уровень напряжений. Если m, n, a расположить по степени  их влияния на напряженно – деформированное  состояние,  то  после  модуля  сдвига  m  наибольшее влияние оказывает  коэффициент линейного расширения α. Так  как  кривая, соответствующая  случаю  4,  находится  после  кривой  1. Далее  находится кривая 3.

Несмотря на то, что здесь приведено обсуждение результатов расчетов только для одного типа закрепления цилиндра, можно высказать общее заключение – изменения  модуля  сдвига,  коэффициента  Пуассона  и коэффициента  линейного  расширения от температуры меняют характер распределения и уровней напряженно – деформированного  состояния. 

Выше приведенный анализ соответствует случаю, когда внутренняя поверхность свободна от напряжений, а внешняя поверхность жестко закреплена. Окружные напряжения в точках, прилегающих к внутреннему радиусу, являются растягивающими, которые по мере удаления от неё постепенно переходят в состояние сжатия.

Подобный  анализ  может  быть  проведен  для  материалов  с  другими  свойствами.

 

 

 

 

 

 

 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                 Литература

 

1.         Колотилкин Д.И., Колотилкин Д.Д., Боровик А.Г.,  Коняев Г.В  Термоупругие  напряжения в многослойном полом  цилиндре. – СВАИ, Саурань, 2005, 13 с. Дел. в  ВИНИТИ  31.01.2005, №132 – В2005

2.         Василенко А.Т., Судавцова Г.К. Напряженное  состояние  термочувствительных  толстостенных  цилиндров  и  анизотропных  композиитов. – механика  композитных  материалов, 1999, №3. 367-374.

3.         Термонапряженное  состояние  кругового  цилиндра,  свойства  которого зависит  от  температуры.

Thermul  stresses  in a  circuler  cylinder  with  temperature  dependent  properties/ Ali z. Alam M.K. // Trans. ASME. I: Manuf. Sci. and. Eng. – 1997, - 119 №3. 448 – 453 с.

4.         Берешко И.Н., Хальца В.М., Вамболь С.А. НДС цилиндрических  труб   

 под  действием  осесимметричного температурного  поля  с линейным изменением  температуры на переходном  участке. – Вопросы  проектировании и производства  конструкций  летальных аппаратов, 2005, №4, с. 74 – 79.

     5.    Богданович В.И., Плотников А.Н. К  расчету  термоупругих напряжении   

            в  неоднородном  цилиндре и шаре. – Проблемы  машиностроения и  

            автоматизация, 1998, №2 – 3, с. 85 – 88.

6.       Бородачев Н.М.  О  задаче  термоупругости в напряжениях. Прикладная    

        механика, 2005, 41, №3. с. 46 – 54.