Об одном методе нахождения решения уравнения параболического типа второго порядка

Бейсенова А. Е. – магистрант II – го курса, Государственного университета имени Шакарима, г. Семей, Казахстан

Многие задачи математической физики приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных и в частности линейным дифференциальным уравнениям различного порядка. К таким уравнениям приводят задачи о малых колебаниях струн и стержней, задачи теплопроводности, стационарных тепловых состояний, задачи потенциального движения несжимаемой жидкости и многие другие.

Построение при помощи уравнений в частных производных решений тех или иных задач естествознания дают нам математическое описание ожидаемого хода или вида физических явлений описываемых этими уравнениями.

Наряду с общими методами, применяемыми при решений упомянутых уравнений для каждого типа уравнения существуют и некоторые специфических методы с помощью которых могут быть решены те или иные задачи математической физики при которых общие методы не применяемые или применение их не так уж эффективно .

В этой работе мы используем комбинированный метод т.е. метод характеристик и метод разделение переменных для решения одного уравнения параболического типа второго порядка.

Уравнения параболического типа получается при исследований таких явлений как теплопроводность, диффузия, распространения электромагнитного поля в проводящих средах, движение вязкой жидкости, движение грунтовых вод и. т. д.

Метод характеристик – один из эффективных методов построений и исследования свойств решений уравнений в частных производных.

Метод разделение переменных или метод Фурье является из наиболее распространенных методов решения уравнения с частными производными.

Нахождение какого-либо решения уравнения частных производных дают возможность построить теорию широкого круга физических и технических задач.

Рассмотрим уравнение параболического типа

(1)

Характеристическое уравнение имеет вид

(2)

Из характеристического уравнения мы получим один общий интеграл уравнения

(3)

Тогда с помощью преобразования

(4)

уравнение (1) в новых переменных приводится к виду

(5)

Далее используем метод разделения переменных т.е. функцию представим в виде произведения

(6)

где - функция только переменного , -функция только переменного

Подставляя предполагаемую форму решения (6) в уравнение (5) получим

(7)

или после деления на имеем

(8)

Правая часть равенства (8) является функцией только переменного , а левая - только , поэтому правая и левая часть равенства (8) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, это значение удобно обозначить через - т.е.