А.И. Долгарев

ГАЛИЛЕЕВЫ И ЕВКЛИДОВЫ КРИВИЗНЫ

 ЕВКЛИДОВЫХ  КРИВЫХ

 

Рассматриваются регулярные кривые 3-мерного евклидова пространства. Для них ранее введены галилеева кривизна и галилеево кручение; установлено, что евклидова кривая однозначно определяется галилеевыми натуральными уравнениями. Ниже изучаются свойства галилеевых кривизн евклидовой кривой, их связь евклидовыми кривизнами.

На страницах 177, 195, 199, 263 и других в [1], П.К. Рашевский пишет об изображении объектов евклидова и псевдоевклидова пространств соответствующими объектами аффинного пространства. Всякий объект – репер, линия, плоскость и т.д. евклидова и псевдоевклидова пространств является объектом аффинного пространства, но как аффинный объект, он не обладает евклидовыми и псевдоевклидовыми свойствами. Введя в аффинное пространство скалярное произведение его векторов, мы выявляем метрические свойства рассматриваемых объектов; аффинная геометрия метрических свойств объектов не выявляет, хотя объект таковыми свойствами обладает. Кривая аффинного пространства  обладает и евклидовыми и галилеевыми свойствами. Обнаружить эти свойства позволяет соответствующее скалярное произведение векторов в линейном пространстве  аффинного пространства .

            Рассматривается аффинное пространство  с действительным линейным пространством , представляющим собой арифметическое пространство  без нормы векторов, т.е. без скалярного произведения векторов. В связи с этим можно говорить о геометрии многообразия , [2]. Считаем, что на  построена аффинная геометрия, т.е. рассматривается пространство  с линейным пространством . На  определено евклидово скалярное произведение векторов. Элементы галилеевой геометрии никак не используются, с ними можно познакомиться в [3]. Определены галилеевы кривизна и кручение евклидовой кривой, [4]. Основное достоинство использования галилеевых методов в евклидовой геометрии состоит в том, что галилеевы натуральные уравнения значительно проще описывают евклидовы кривые, чем их евклидовы натуральные уравнения.

 

1. Основные галилеевы понятия в евклидовой теории кривых

1.1. Евклидовы кривизны

Линия аффинного пространства  описывается в аффинном репере  векторной функцией

,                                                (1)

здесь  действительные функции действительного переменного. Определяя евклидово скалярное произведение векторов, превращаем аффинное пространство  в евклидово пространство , аффинный репер заменяем ортонормированным репером . Аффинная кривая (1) в результате становится евклидовой, т.е. мы получаем средства для изучения евклидовых свойств аффинной линии. Считаем линию (1) регулярной класса . Покомпонентные функции  регулярной кривой (1) обратимы, пусть  обратная функция к , в задании (1) кривой заменим параметризацию, считая ; получаем:

 = ,.                                              (2)

Это выделенная параметризация евклидовой кривой. Векторы производных функции (2) таковы:

 = ,   = ,  .

Функции производных, начиная со второго порядка, имеют одну нулевую компоненту. Вычислительные формулы кривизны и кручения евклидовой кривой, как известно, есть

, .                              (3)

Евклидовы кривизны евклидовой кривой далее обозначаем . Ниже используются галилеевы кривизны евклидовой кривой: .

            Параметризация (2) евклидовой кривой напоминает естественную параметризацию  галилеевой кривой , см. [3, с. 56].

 

1.2. Каппа-функция евклидова вектора

Введена каппа-функция евклидова вектора в [3, с. 59 – 61].

1. ЛЕММА. Пусть  евклидов вектор. Производная единичного вектора направления  разлагается по векторам  следующим образом

 = .                                               (4)

Здесь  скалярное произведение векторов   и .

            2. ЛЕММА. В случае двумерного вектора  производная единичного вектора направления  равна

 = , где , . .                  (5)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Скалярный множитель  разложения (5) называется  функцией (каппа-функцией) евклидова вектора , .

Иначе говоря, функция вектора   есть модуль вектора , т.е.

= .

 

1.3. Галилеевы кривизны евклидовой кривой

По аналогии с определением галилеевой кривизны галилеевой кривой в естественной параметризации, [3, с. 58 ], вводим    

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Галилеевой кривизной евклидовой кривой (2) в выделенной параметризации  =  в ее обыкновенной точке называется величина

 =  = ;                                        (6)

Вектор  называется  вектором галилеевой кривизны евклидовой кривой, единичный вектор галилеевой кривизны есть

 =  = .                                       (7)

По (7), . По (5) получаем вектор , считая .

 = , =: ; . .  (8)

Плоскость , см. (7), является соприкасающейся для кривой . Вектор  характеризует отклонение кривой  от соприкасающейся плоскости.

            ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Галилеевым кручением евклидовой кривой (2) в выделенной параметризации  =  называется величина

 =  = .                                              (9)

Вектор  называется  вектором галилеева кручения евклидовой кривой, единичный вектор галилеева кручения есть .

 

1.4. Галилеевы натуральные уравнений евклидовой кривой

            Согласно теории кривых пространства-времени Галилея, см. [5], галилеева кривая определяется функциями своих кривизн. Для евклидовых кривых в выделенной параметризации справедливо следующее утверждение.

            3. ТЕОРЕМА. Компоненты  кривой (2) в выделенной параметризации являются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений

                                        (10)

где ,  заданные на интервале  функции класса  галилеевых кривизн. Единственная кривая (2)  определяется начальными условиями

, ,   .

            Обозначим: , . По определениям (6) и (9) галилеевых кривизн евклидовой кривой (2) в выделенной параметризации получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений (10). Ее решением являются компоненты  задания кривой  = . По виду первого уравнения системы (10), полагаем

.                       (11)

функции (11) удовлетворяют второму уравнению системы (10), так как:

.

Интегрируя функции (11) дважды по параметру , получаем компоненты  семейства кривых  в выделенной параметризации. Каждая из полученных кривых  имеет заданные галилеевы кривизну и кручение , . Указанные начальные условия фиксируют кривую  в пространстве, которая проходит через точку  и имеет в этой точке вектор касательной .

            4. ТЕОРЕМА. Функции

 = ,  =

являются галилеевыми натуральными уравнениями евклидовой кривой.

5. СЛЕДСТВИЕ. Если кривизна и кручение кривой (2) в выделенной параметризации постоянны: , то

 =                               (12)

кривая  является винтовой линией. Проекция кривой  (12) на плоскость  есть

 = .

Это евклидова окружность с центром в начале координат и радиусом ,

.

Плоская кривая постоянной кривизны  в выделенной параметризации  является параболой y = x2 + bx + c.

Регулярная евклидова плоская кривая в каждой своей обыкновенной точке имеет соприкасающуюся окружность и соприкасающуюся параболу, [5, с. 132; 6, с. 74 – 75]. Регулярная плоская евклидова кривая есть совокупность малых дуг окружностей и отрезков прямых, или малых дуг парабол и прямых. Парабола и окружность близки до порядка второй малости ко всякой регулярной кривой с ненулевой кривизной, [6, с. 74 – 75].

 

2. Свойства линий и функция вектора

2.1. Сопровождающий репер кривой. Плоскость галилеевых кривизн

            Имеем неортогональный но нормированный сопровождающий репер  кривой (2), [2]. Как уже отмечено в п. 1.3, плоскость  =  является соприкасающейся для кривой (2), ее положение не зависит от параметризации кривой. Плоскость  указанного сопровождающего репера определяется векторами галилеевой кривизны и галилеева кручения линии (2), она называется плоскостью галилеевых кривизн евклидовой линии (2). Плоскость  является соприкасающейся. Репер  называется галилеевым сопровождающим репером евклидовой кривой.

            6. СВОЙСТВО. Разложение вектора  по векторам  есть:    

.                                                (13)

            Вектор в числителе равенства для  в (13)

рассматривается в [7, с. 32; 8, с. 102; 5, с. 98 - 102]. Появляется вектор в результате вычисления двойного векторного произведения . Но нигде не упоминается и не используется вектор вида  и каппа-функция евклидова вектора.

            7. СВОЙСТВО. Для евклидовой кривизны линии (2) выполняется равенство

=.

8. СВОЙСТВО. Спрямляющая плоскость линии  есть .

            Отметим некоторые свойства плоскости галилеевых кривизн евклидовой линии.

9. ТЕОРЕМА. Линия (2) является плоской, если и только если . Линия (2) является прямой, если и только если ; при этом и .

            # Вектор  характеризует отклонение кривой от соприкасающейся плоскости, п. 1.3. И  если и только если отклонения нет и линия лежит в соприкасающейся плоскости. Линия (2) является прямой, если и только если . #

            10. СВОЙСТВО. Не существует плоскости галилеевых кривизн для плоской евклидовой линии.

            # Плоская линия имеет нулевое галилеево кручение, теорема 9, а один вектор галилеевой кривизны  плоскости не определяет. В этом случае плоскость галилеевых кривизн  вырождается в прямую линию. #

            11. ТЕОРЕМА. Плоскость галилеевых кривизн  евклидовой линии имеет в евклидовом пространстве неизменное направление, она движется параллельно сама себе при движении точки  по линии.

            # Векторы  и  разложены по базису  евклидовой плоскости , см. (7) и (8). При движении обыкновенной точки  по линии плоскость  параллельна плоскости . # 

Направление плоскости  определяется вектором ее нормали .

            Это свойство плоскости галилеевых кривизн евклидовой линии  аналогично свойству нормальной плоскости галилеевой кривой , которая является евклидовой плоскостью пространства Галилея и потому при движении точки  по галилеевой кривой евклидова плоскость  движется параллельно сама себе. Выделенную параметризацию евклидовой линии можно получить, обращая в (2) вторую компоненту  или третью компоненту . Во всех случаях имеем плоскость галилеевых кривизн евклидовой линии. Такая плоскость у евклидовой линии одна. Она получается независимо от того, какая функция из  обращена; плоскость галилеевых кривизн определяется с точностью до обозначений (с точностью до движения евклидова пространства).

            Можно все регулярные кривые (2) евклидова пространства рассматривать в некотором фиксированном репере , обращая всегда первую компоненту  в векторном задании линии. Можно считать, что плоскость галилеевых кривизн всех линий определяется одной и той же нормалью . Этого можно добиться с помощью движений евклидова пространства.

            Таким образом, выделенная параметризация евклидовой линии выделяет в евклидовом пространстве и плоскость галилеевых кривизн евклидовых линий. Например, в пространстве Солнечной системы существует плоскость, в которой лежат орбиты планет – плоскость Эклиптики. Ее положение определяется тремя положениями центра Солнца. В абстрактном евклидовом пространстве не существует геометрических соображений, выделяющих плоскость галилеевых кривизн евклидовых линий; такую плоскость можно получить, разве что, на основе физических свойств пространства. Но существование плоскости галилевых кривизн есть следствие геометрических свойств пространства. Дифференцируемость функций означает их обратимость и влечет выделенную параметризацию линий. Регулярность кривых евклидова пространства выявляет его неоднородность, а однородность является кажущейся. В каждой точке на поверхности Земли можно определить положение плоскости Эклиптики в любой заданный момент времени. Для этого используются три положения Солнца.

 

2.2. функция, евклидовы и галилеевы кривизны

            12. ЛЕММА. функция вектора  вычисляется и по формуле

 =  .                                                          (14)

            # Доказываемое равенство получается в результате возведения функции вектора , см. определение 1, в квадрат.

 = = = =

=  = .

Обозначим : , тогда . Значит

 =  .

Получилось значение квадрата  каппа-функции . Таким образом, для  выполняется (14). #

13. ТЕОРЕМА. Каппа-функция вектора касательной   связана с евклидовой кривизной линии соотношением:

 = .

Модуль каппа-функции вектора  есть

 =.                                                (15)

# В доказательстве свойства 6 отмечено =. По (14) при :  = . Поэтому  =  = . Из  равенства  =  следует (15). #

Соединяя формулы (14), (9) и  в теореме 13, приходим ко второй формуле в (3), записанной в виде (26) в [9, c. 57].                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

14. ТЕОРЕМА. Модуль галилеева кручения евклидовой кривой (2) вычисляется также по формуле

.

            # По равенству (13) при  имеем указанную формулу,  используем (8). #

            15. ТЕОРЕМА. .

            # Также, как в доказательстве леммы 12, и формулы (13) получаем доказываемое равенство. #

            16. ЛЕММА. В выделенной параметризации: .

            # Вычисляем:

. #

            17. ТЕОРЕМА. Галилеево кручение евклидовой кривой равно

.                                                                  (16)

            # Формула получена по (9). #

            18. ТЕОРЕМА. Евклидовы и галилеевы кривизны евклидовой кривой связаны соотношением

.                                                        (17)

            # Воспользуемся первой формулой в (3) вычисления кручения  и добавляя в числитель и знаменатель равные сомножители в соответствии с формулами (16), (3), выделяем известные выражения.

=[используется (16)] =  =

= = [используется вторая из (3)] = .

Исходная величина и конечный результат дают (17). #

            Теоремы 15 и 18  связывают между собою евклидовы и галилееы кривизны евклидовой линии. В формулах кроме кривизн линии содержатся и другие величины. Первая из этих теорем связывает евклидову кривизну и галилееву кривизну. Наличие такой связи естественно ввиду существования линий без кручения, т.е. плоских линий. Линия не обладает плоскостью евклидовых кривизн, но обладает плоскостью галилеевых кривизн и она является инвариантом линии: при движении точки по линии направление плоскости галилеевых кривизн не изменяется.

            19. СЛЕДСТВИЕ. Знаки евклидова и галилеева  кручения евклидовой линии совпадают.

            # Такой результат дает формула (17). #

Другими словами, евклидовы кривизны есть инварианты евклидовой линии и галилеевы кривизны есть инварианты евклидовой линии. Имеется ввиду линия в многообразии , она обладает различными наборами инвариантов. Нет оснований признавать одни наборы определяющих инвариантов и не признавать другие.

            Отметим еще один результат.

            20. СВОЙСТВО. Модули каппа-функций первой и второй производных функции  таковы:

 =,   =  = .

            # Первая из формул есть (15). По (15), , по (7), , , и по определению 2, . Воспользовавшись теоремой 13, находим вторую формулу. #

 

2.3. Движение  плоскости галилеевых кривизн евклидовой линии

Главное свойство плоскости галилеевых кривизн  состоит в том, что придвижении точки  по евклидовой кривой плоскость  движется параллельно сама себе, теорема 11. [10],  п.4.

            При движении точки  по линии  плоскость галилеевых кривизн  не может

двигаться, скользя сама по себе, так как в этом случае она перестает существовать, свойство 10. Плоскость  существует, если она занимает различные положения в евклидовом пространстве. (Имеется некоторый аналог с элементами квантовой теории. Например, существует масса покоя электрона, движущийся электрон есть волна.)  Справедлива

            21.ТЕОРЕМА. Перемещение плоскости галилеевых кривизн  евклидовой кривой происходит под воздействием вектора

,

который является ненулевой проекцией вектора  на вектор .

            # В (13) вектор  разложен по векторам  и . Под воздействием составляющей, коллинеарной вектору  плоскость  скользит сама по себе, а под воздействием составляющей , коллинеарной вектору , плоскость  изменяет свое положение, перемещаясь параллельно сама себе, теорема 11. Согласно свойству 10, . #  Величина  характеризует скорость изменения положения плоскости галилеевых кривизн   евклидовой кривой.

            22. ТЕОРЕМА. Скорость вращения плоскости галилеевых кривизн  равна .

# Двигаясь, плоскость  может вращаться вокруг своих нормалей, других осей вращения плоскость  не имеет. Согласно положениям механики, вектор вращения плоскости  есть , вектор угловой скорости коллинеарен вектору , величина скорости вращения равна

 = ==,

см. (6) и (14) и далее (8). #

            В работе [10] установлено, что евклидово пространство, содержащее регулярные кривые, неоднородно. Оно отличается от евклидова пространства, изучаемого в элементарной геометрии, [10].

 

Литература

  1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1967. -664с.

2.  Долгарев А.И. О геометрии 3-мерного действительного многообразия. – Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета. – Казань, 2011, вып. 1(23). – С. 2 – 15.

  1.  Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. Монография. – Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005.- 306с.

4.       Долгарев А.И. Натуральные уравнения кривых 3-мерных одулярных галилеевых пространств// Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Межвуз. тем. сб. научн. тр. Вып. 36. – Калининград: КГУ, 2005. – С. 31 – 36.

  1.  Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия. – М. – Л.:   Гостехиздат, 1949. – 512 с.
  2.  Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии. Изд. 2. – М.: КомКнига, 2006. – 344с.

7.       Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Изд-во МГУ, 1990. – 384с.

  1.  Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.: Гостехиздат, 1956. 420с.

9.       Дубровин Б.А, Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. //М.: Наука – 1979, 760с.

  1. Долгарев А.И. Различные по Ф. Клену евклидовы геометрии: элементарная и диф-

      ференциальная.// Materialy IX Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji

      “Strategiczne pytania swiatowej nauki – 2013” Volume 28. Matematyka. Fizyka.

      Nowoczesneinformacyjne technologie.: Przemysl. Nauka i studia – 96 str. C. 3 – 8.