Петровская М.В.

Самарский государственный технический университет, Россия

Расчет коэффициента сопротивления при движении  нано- и микрочастиц в разреженном газе

 

Определение силы сопротивления среды в различных условиях составляет одну из основных задач при расчете скорости движения частиц. В общем случае движения с малыми числами Рейнольдса сила сопротивления пропорциональна скорости движения частицы

Для упрощения будем считать, что частица имеет сферическую форму. Как известно, для нее справедлива формула Стокса, хотя имеются ограничения в применении этой формулы для очень малых частиц.

                                      (1)

При выводе этой формулы предполагалось, что у поверхности частицы нет скачка скорости, т. е. толщина пограничного слоя (слоя, в котором происходят изменения скорости) у поверхности частицы много больше длины свободного пробега молекул среды.

Благодаря проскальзыванию сопротивление движению малой сферической частицы должно уменьшаться. Поправки к формуле Стокса для малых частиц были вычислены Каннингемом, Милликеном и Дэвисом, и формула приобрела вид:

где  λ — длина свободного пробега молекул, а входящие сюда константы равны  А  =  1.257, В  =  0.45, С  =  1.1. Корреляция Каннингема-Милликена-Дэвиса (КМД) является экспериментальной и существенно исправляет формулу (1), расхождение появляется лишь в области больших и очень малых радиусов [1].

С другой стороны, величину γ(а) можно рассчитать исходя из представления о диффузии

где D12 - коэффициент взаимной диффузии для наночастиц и молекул газа. Найти коэффициент взаимной диффузии можно используя понятие подвижности и известное соотношение Эйнштейна

Подвижность заряженных частиц, согласно строгой теории Ланжевена [2], задается формулой

где ρ – плотность газа, εг – относительная диэлектрическая проницаемость газа, М – масса молекулы газа, m – масса заряженной частицы. Величина А – функция параметра Λ, определяемого выражением

где р — давление газа, а d12— сумма радиуса частицы и радиуса молекулы. Коэффициент взаимной диффузии для наночастиц и молекул газа в этой модели равен

где Мr – приведенная масса молекулы и частицы, n0 – концентрация газа, Т – температура. Коэффициент сопротивления в этом случае можно рассчитать по формуле

                                (2)

где R0 – радиус молекулы.

Графики зависимости коэффициента сопротивления среды (газ с молярной массой 0,1 кг/моль - тетрафторэтилен) от размера частицы  при температуре 300 К и давлении 80 Па приведены на рис.1

Различие коэффициентов сопротивления, рассчитанных из КМД корреляции и формуле γдиф(а), не превышает 1% в интервале размеров частиц от 40 нм до 1 мкм. Для частиц, радиус которых меньше 40 нм, формула Каннингема-Милликена-Дэвиса дает завышенные значения, что отмечено некоторыми авторами [например 3], поэтому более правильно пользоваться выводами строгой теории Ланжевена. Вслед за авторами [3], хочется отметить, что зависимость γ(а) для наночастиц существенно отличается от предсказываемой КМД корреляцией, инструментально закладываемой практически во все методы измерения коэффициента диффузии аэрозолей.

Для расчета коэффициента диффузии частицы в газе наиболее часто используется формула Эпштейна

                               (3)

где ρ – плотность газа, М – масса молекулы газа, а – радиус частицы, α - коэффициент аккомодации (для модели упругих шаров α = 0).

Рис. 1. Зависимости коэффициента сопротивления движению от радиуса частицы
 для тетрафторэтилена при температуре 300 К и давлении 80 Па

 

На графике 1. кривая для коэффициента сопротивления, рассчитанная с применением формулы (3), изображена зеленой штрихпунктирной линией. Характерно, что в области малых частиц (порядка 1÷10 размеров атома газа) кривая Эпштейна совпадает с кривой КМД корреляции, а в области крупных частиц – с кривой Ланжевена. Нетрудно заметить, что формула для коэффициента диффузии по Ланжевену (2) переходит в формулу Эпштейна (3), если пренебречь радиусом молекулы по сравнению с радиусом частицы и приведенную массу считать равной массе молекулы.

Таким образом, можно сделать вывод, что для описания движения наночастиц и, в особенности, ионов в газовой среде более справедливы формулы строгой теории Ланжевена.

 

Литература:

 

2. Мак-Даниель И. Процессы столкновений в ионизованных газах. М.: Мир.1967. 832с.

1. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С. Л. Диффузия наночастиц в разреженном газе // Журн. техн. физики. 2002. Т. 72, вып. 7. С. 13-20.

3. Рудяк В.Я., Дубцов С.Н., Бакланов А.М. О зависимости коэффициента диффузии наночастиц от температуры // Письма в ЖТФ, 2008, 34(12), 48–54