Шинкарик М.І.

Тернопільський національний економічний університет

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур’є – Ейлера на  полярній вісі

Побудуємо обмежений на множині  розв’язок сепаратної системи модифікованих диференціальних рівнянь Фур’є та Ейлера

                        (1)

за умовами спряження

     (2)

та крайовими умовами

                       (3)

У рівностях (1) - (3)            - диференціальний оператор Ейлера [1].

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є  утворюють функції  та  [1]. Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера   утворюють функції  та [1].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє будувати розв’язок  крайової задачі (1)- (3) методом функцій Коші [1,2]:

                  (4)

                   (5)

Тут  - функції Коші [1,2]:

                  (6)

де    .

Визначимо функції:

Безпосередньо перевіряється, що функції Коші:

   (7)

             (8)

Умови спряження (2) та крайова умова в точці  для визначення

 величин  та  дають алгебраїчну систему рівнянь:

                 (9)

У системі (9) бере участь функція

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1) – (3): визначник алгебраїчної системи (9)

    (10)

Введемо до розгляду головні розв’язки крайової задачі (1) – (3):

1) породжені неоднорідністю системи (1)функції впливу

                                    (11)

2) породжені крайовою умовою в точці  функції Гріна

                                        (12)

3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

                           (13)

                                                       

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (9), підстановки одержаних значень ,  та  у рівності (4) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) - (3) :

       (14)

Побудуємо розв’язок крайової задачі (1) - (3) методом гібридного інтегрального перетворення типу Фур’є – Ейлера [3]:

                              (15)

                      (16)

                                 (17)

У рівностях (15) – (17) беруть участь функції:

  

Інші величини та функції загальноприйняті [4].

Єдиний розв’язок  крайової задачі (1) - (3), побудований за відомою логічною схемою [4] методом інтегрального перетворення, визначеного формулами (15) – (17), описують функції:

       (18)

Порівнюючи розв’язки (14) та (18) в силу єдності, маємо наступні формули обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора:

      (19)

      (20)

      (21)

      (22)

У рівностях (18) – (22)  якщо  ( ), або  якщо  ( ). Можна покласти  (), звужуючи при цьому сім’ю невласних інтегралів.

 

1.      Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

2.      Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

3.      Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368 с.

4.      Ленюк М.П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтегральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том V.  – Чернівці: Прут, 2005. – 368 с.