Математика/5.Математическое моделирование

 

Аширбекова Б.М., Шахшина С.А.

Ст. преподаватели кафедры высшей математики

Карагандинский экономический университет Казпотребсоюза

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В КАЧЕСТВЕ ИНСТРУМЕНТОВ ИННОВАЦИОННОГО ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА.

 

 

Методы экономико-математического моделирования, при­менение которых существенно расширились благодаря совре­менному программному обеспечению ПЭВМ, представляют собой один из наиболее динамично развивающихся разделов прикладной экономической науки и все больше проникают в экономику, экологию, социологию, психологию, коммерческую деятельность, маркетинг.

При построении экономических моделей выявляются существенные факторы и отбрасываются детали несущественные для решения поставленной задачи. Они зависят от множества различных факторов, которые в большинстве своих случаев противоречат друг другу, они так же  изменяются со временем  и влияют на другие проблемы и процессы.

Именно по этой причине, для решения этих проблем на стыке экономики и математики, существуют особые приемы с характерным названием "экономико-математические методы". Данное научное направление посвящено исследованию экономических систем и процессов с помощью математических моделей. Так как математическая модель отражает проблему в абстрактной форме, она  позволяет учесть большее число разнообразных характеристик, от которых зависит та или иная  проблема. Анализ и расчет математической модели позволяют выбрать оптимальные решения поставленной задачи и обосновать этот выбор. В целом математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.

Распространение высоких техно­логий открыло доступ к огромным объемам информации. Но чем больше информации собира­ется, тем сложнее увидеть в ней тенденции и закономерности, чтобы принять на ее осно­ве какое-либо управленческое решение. Крайне важно в этих условиях иметь возможность быстро и своевременно находить полезную информацию и эффективно использовать ее. Без четкого понимания своего места на рынке, потребностей клиен­тов, действий конкурентов невозможно построить эф­фективную организацию. Предпринимательская деятельность связана с постоянным поиском наиболее выгодного варианта распределения различного вида ресурсов: финансовых, трудо­вых, товарных, технических и др.

Одной из важных задач можно считать задачу по обеспечению  конкурентоспособности предприятий.

Повышения конкурентоспособности практически невоз­можно достигнуть случайным образом. Необходима совокупность методов и приемов, вместе образующих систему управления конкурентоспособностью. Реализация такой систе­мы напрямую связана с анализом и оценкой всего многообра­зия условий и факторов функционирования субъектов.

Привлечение инновационных математических методов и моделей особенно актуально для совершенствования кален­дарного планирования производственных процессов, например при проектном методе организации производства. Как правило, эта задача связана с распределением ограниченных ресурсов по операциям проекта. Поэтому задачу календарного плани­рования называют часто задачей оптимального распределения ресурсов в проекте (комплексе операций). Для решения реальных задач календарного планиро­вания развиваются два подхода.

Первый подход основан на использовании эвристических алгоритмов. Первая группа эвристических алгоритмов ис­пользует некоторые эвристические правила приоритетности операций при возникновении конфликтной ситуации, связан­ной с ограниченностью ресурсов. Вторая группа эвристичес­ких алгоритмов использует идею локальной оптимизации, то есть улучшения некоторого начального решения. Второй подход основан на идее агрегирования, то есть уменьшения числа операций проекта путем замены нескольких операций (подпроектов) одной операцией. Полученный агрегированный проект, как правило, допускает более эффективные методы решения (в силу меньшей размерности). Полученное агреги­рованное решение затем возвращается в календарный план исходного проекта.

Проект обычно представляют как некоторое множество опе­раций (комплекс операций). Операция это процесс, требующий затрат времени и ресурсов. Для формального описания опе­рации необходимо задать ее объем W и зависимость скорости (интенсивности) операции от количества ресурсов, ее выполня­ющих. Будем обозначать эту зависимость

w = f(u(t))                                                (1)

где u(t) — вектор ресурсов в операции в момент t.

Пусть tH — момент начала операции, a t0 — момент ее окон­чания. Тогда объем операции удовлетворяет условию

                        (2)

Как правило, ресурсы участвуют в операции в определенных соотношениях, называемых набором ресурсов. Набор ресурсов можно представить в виде:

                               (3)

где m — количество видов ресурсов, v — интенсивность набо­ра,  — количество ресурса j-го вида на единицу мощности набора.

В качестве величины интенсивности набора, как правило. берется вид ресурса, который является основным (определя­ющим). Например, количество людей, выполняющих работу, определяет требуемое количество материалов, инструмента, рабочей одежды и т.д. Для определяющего ресурса, очевидно, = 1. Ограничение на ресурсы теперь можно записать в сле­дующем виде:

                                                                n

            (4)

                                                              i=1

где n — число операций комплекса, Nj(t) - количество ресурсов j-го вида в момент t.

Ограничения на ресурсы часто связаны с ограниченностью финансов. Если обозначить а стоимость единицы ресурсов j-го вида в единицу времени, a S(t) - объем финансирования в момент t, то ограничения, связанные с финансированием, принимают вид:

                                                                    n   m

                           (5)

                                                                  j=1 i=1

Это ограничения типа мощности. Если ограничены средства, выделенные на проект, то получаем ограничения типа затрат:

                                                  n

                                            (6)     

                                                                        j=1

где          

                                                           m

                                                                          (7)

                                                          j=1

Наконец, если задан график Q(t) поступления ресурсов на проект (график финансирования проекта), то получаем следу­ющие ограничения на ресурсы:

                                                   n   m   

                                                                     (8)

                                                 j=1 i=1

Задача оптимального распределения ресурсов (задача календарного планирования) заключается в определении рас­пределения ресурсов vt = v:(t) такого, что все операции комп­лекса выполнены за минимальное время (задача оптимальною быстродействия), либо потери, связанные с задержкой времени реализации комплекса или ряда его операций, минимальны (минимизация упущенной выгоды). Критерий минимизации упу­щенной выгоды, обычно, рассматривается в виде                                                            

где di — желательный срок завершения i-й операции, qi — потери в единицу времени при завершении операции позже di.

В настоящее время в условиях насыщенности рынка и материальными, и трудовыми ресурсами, ограничиваю­щим фактором являются финансовые ресурсы. Это позволяет рассматривать задачи календарного планирования, как задачи распределения ресурсов одного вида (финансовых ресурсов). Такой подход тем более обоснован, поскольку он позволяет сконцентрировать внимание именно на особенностях решения задач календарного планирования на основе агрегирования. Поэтому в дальнейшем, если это не оговорено особо, будем считать, что все операции выполняются ресурсами одного вида (финансовыми ресурсами). Будем обозначать далее

количество финансовых ресурсов на i-ой операции в момент t и, соответственно, f(u) - скорость i-ой операции в зависимости от количества ресурсов.

Для решения задач календарного планирования необхо­димо, в первую очередь, получить описание всех операций, то есть определить объем каждой операции и зависимость f(u) скорости операции от количества ресурсов. Дело в том, что на практике, как правило, известны продолжительности операций при различных количествах ресурса на ней, то есть зависимос­ти t(v). Если операции выполняются с фиксированным уровнем ресурсов (v принимает только одно значение) или с постоянным уровнем ресурсов (количество ресурсов в процессе выполнения операции не меняется), то проблем не возникает. Действительно, в этом случае

    t(v) = W/f(v) или f(v) = W/t(v)            (11)

и скорость операции определяется с точностью до пара­метра W (при известной зависимости t(v) объем W может выби­раться произвольно).

Ситуация становится сложнее, если операция выполняется с переменным уровнем ресурсов.

Агрегирование, то есть представление сложной модели (описываемой большим числом параметров) в упрощенном (агрегированном) виде (описываемой небольшим числом пара­метров) не только эффективный метод решения задач большой размерности, но едва ли не единственный подход к принятию решений на высших уровнях управления. И дело здесь не в том, что ограничены наши возможности в решении задач большой размерности. Главная причина агрегированного описания слож­ных моделей в том, что руководитель (лицо, принимающее ре­шение) способен принимать эффективные решения, оперируя только небольшим числом существенных факторов (порядка 7-8 факторов).

Отсюда следует, что подход к решению задач большой раз­мерности на основе построения агрегированных моделей адекватен иерархическому построению организационных систем. Очевидно, что упрощенное описание является приближенным (ошибка агрегирования), но это упрощение окупается повышением эффективности принятия решения на основе агрегирован­ных моделей. Большой интерес представляют случаи идеаль­ного агрегирования, то есть агрегирования с нулевой ошибкой. Дадим формальные определения агрегирования и ошибки агрегирования в задачах календарного планирования.

Агрегированием комплекса операций называется его пред­ставление в виде комплекса с меньшим (как правило, значи­тельно меньшим) числом операций.

Пусть задан класс М возможных ограничений N(t) на количество ресурсов, выделенных для реализации проекта. Обоз­начим Tm[N(t)] — минимальное время реализации проекта при графике использования ресурсов N(t), a Ta[N(t)] — минимальное время реализации агрегированного проекта при том же графи­ке N(t). Разность

    = |1 - Ta[N(t)]/Tm[N(t)]                 (12)

определяет ошибку агрегирования при заданном графи­ке N(t). Ошибку агрегирования для всех возможных графиков N(t) е M будем оценивать выражением

Агрегирование с нулевой ошибкой называется идеаль­ным.

Существует класс зависимостей 1(ц), при которых возможно идеальное агрегирование любого комплекса операций. Это так называемые степенные зависимости вида

          F i(u) =  < 1, i=1, n                     (14)

Для случая степенных зависимостей доказано, что существует агрегированное представление комплекса в виде одной операции объема Wэ и со скоростью f = ua такое, что для любого N(t) имеет место Tm[N(t)] = Ta[N(t)]. Таким образом, задача сводит­ся к определению объема агрегированной операции (этот объем назван эквивалентным объемом комплекса).

Известны несколько методов определения эквивалентного объема. Первый метод основан на решении задачи распределе­ния ресурсов при заданном уровне ресурсов N. Если Tmin(N) — минимальное время реализации проекта, то эквивалентный объем проекта определяется выражением

         Wэ = Tmin(N) * Ta                                (15)

Второй метод основан на решении задачи минимизации затрат при заданном сроке реализации проекта. При этом за­висимость затрат на i-ую операцию от ее продолжительности определяется выражением

Применение инновационных, постоянно развивающихся математических моделей интерактивного ценообразования также является необходимым условием обеспечения конку­рентоспособности фирмы, как на международном, так и на внутреннем рынке. При этом для получения соответствующего уровня доходности от реализуемой продукции производитель должен учитывать не только структуру расходов, но и востребованность данной продукции на рынке. Известно, что покупатель (потребитель) «оценивает» предлагаемый товар, то есть опреде­ляет, в какой мере потребительские качества данного продукта соответствует его потребностям.

Ценовая конкуренция предполагает предложение товаров или услуг по сниженным ценам, либо с более низкой стоимостью обслуживания или потребления.

Важным фактором успешной ценовой политики предприятия на любом отдельно взятом рынке является не только гра­мотная оценка конъюнктуры рынка и установление ценовой политики в зависимости от стратегии компании, но и адекватная оценка издержек как своих собственных, так и конкурентов. Среди методов наиболее широко используемыми являются следующие.

1.    Метод установления цены на основе издержек производства, в основе которого лежит измерение базовых издержек на единицу продукции, корректируемых на величину неучтенных затрат и норму прибыли предприятия. данный способ соответствует затратному механизму формирования проектной цены.

2.    Метод безубыточности основан на определении такого объема производства и реализации по заданной цене, который позволит покрыть постоянные и переменные издержки произ­водства продукции без получения прибыли.

3.    Метод ориентации цены на уровень спроса на товар применятся организациями, объем производства для которых не имеет решающего значения. Они могут предельно приближать цены к возможностям потребителя.

4.    Конкурентный метод внешнеторгового ценообразования, который заключается в отборе фирмой представительской конкурентной информации на товарные аналоги с учетом различных условий взаимодействия предприятий конкурентов с потребителями.

Последние два метода наиболее часто принимаются в строительстве.

Наличие столь значительного числа переменных делает задачу принятия решения чрезвычайно сложной и ответственной для руководства компании. Наиболее эффективным способом оценки всего множества факторов и степени их влияния является создание математической модели механизма прогнозирования с использованием методов эконометрики.

На основе вышеизложенных факторов и методов формирования цены с применением эконометрического подхода можно сформировать следующую математическую модель определения цены:

где С – себестоимость изделия:

x1 ..., xk — составляющие себестоимости от 1 до n;

S — спрос на изделие в денежном выражении;

Pi — спрос i-го покупателя на изделие в денежном выражении;

Rpj — спрос j-го потенциального покупателя на изделие в денежном выражении;

k — спрос на изделие l-го конкурента в денежном выражении;

е — эластичность спроса на изделие по цене; h - изменение продажной цены изделия (инфляция);

z,, z2, ..., zm — внешние факторы, влияющие на изменение h;

Ps — справочная цена;

рг р2, ..., pn — цены на аналогичную продукцию конкурентов на рынке.

Данная модель относится к классу многофакторных моделей, так как цена товара зависит не от одного, а от нескольких параметров.

В рамках рассматриваемой методики необходимо определить изменение структуры параметров в зависимости от их весомости в формировании цены изделия. Для этого необходимо для каждого независимого параметра цены строительного изделия, представленного в разработанной математической модели, определить значение его веса в формировании зави­симой переменной.

В рамках предлагаемой методики необходимо определить величину удельного веса независимой переменной в формировании зависимой разрабатываемой математической модели h*, определяющей важность более подробного структурного исследования независимого параметра, как зависимого от его составляющих. Иными словами, для каждой независимой переменной (фактора) r математической модели определяется ее весомость h(r) в формировании зависимой переменной (отклика). В случае, если эта весомость будет не ниже заданной h* (h(r) ≤ h*), независимую переменную в рамках предлагаемой модели необходимо исследовать структурно.

Кроме того, для всех независимых переменных математической модели, для которых всегда выполняется условие h(r) Для решения практических задач, как правило, достаточно    r = 0, 1, 2. Тогда математическая модель примет вид:

где q1, ..., qnq — расшифровка затрат на закупку строительных материалов и комплектующих изделий;

nq — количество данных q1, ..., qnq в перечне расшифровки;

w1, ..., wnw — расшифровка затрат на топливо и электроэнер­гию на строительство цели;

nw — количество данных w1, ..., wnw в перечне расшифровки;

r1, ..., rnr — расшифровка затрат на транспортно-заготовительные расходы:

nr — количество данных r1, ..., rnr в перечне расшифровки.

Таким образом, в левой части каждого уравнения данной математической модели находятся зависимые переменные управления, а в правой (в скобках) — независимые.

Полученная математическая модель может использовать­ся для определения предполагаемой цены изделия на основе факторов внутреннего рынка.

Подводя итог, необходимо отметить, что широкое и повсеместное распространение высоких технологий открыло доступ к огромным объемам информации. Крайне важно в этих условиях иметь возможность быстро и своевременно находить полезную информацию и эф­фективно использовать ее. Повышения конкурентоспособности практически невозможно достигнуть случайным образом. Поэтому необходима совокупность методов и приемов, образующих инновационную систему управления конкурентоспособностью.

 

Литература:

1.    Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике: Учебное пособие. - М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 2002г.

2.    Дроговоз П.А., Садовская Т.Г., Применение математических методов и моделей в управлении организационно-экономическими факторами конкурентоспособности промышленного предприятия.//Аудит и финансовый анализ. №3 -2009г.

3.    Кобицкий Д.А. Применение математических методов и моделей в повышении конкурентоспособности предприятия. //Проблемы современной экономики. № 4 -2011г.

4.    Чернышев С.Л.Моделирование экономических систем и прогнозирование их развития: Учебное пособие.-М., изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003г.