Кравченко Н.О

Групи БС-15

Донецького національного університету економіки і торгівлі

ім.. Михайла Туган-Барановського

ЕКОНОМІЧНИЙ АНАЛІЗ РЯДІВ ДИНАМІКИ ЗА ДОПОМОГОЮ ТЕОРІЇ ФРАКТАЛІВ

Актуальність. Однією з важливих проблем у різних галузях науки, є аналіз динамічних систем та процесів.

Для моделювання складних динамічних систем довільної природи поширеним є застосування підходу, який базується на спостереженні за їх поведінкою в часі. Дослідження динамічного ряду, що складається з послідовності цих спостережень, дає скласти уявлення при властивості системи та спрогнозувати її поведінку в майбутньому.

Аналіз останніх досліджень та публікацій. Аналіз часових рядів знайшов широке застосування у дослідженні економічних систем. Розвиток теорії аналізу і прогнозування економічних рядів динаміки пов’язаний з іменами багатьох вітчизняних та зарубіжних вчених, таких як Дж. Бокс, Г. Дженкинс [1], І.Г.Лук’яненко, Ю.О.Городніченко [5]. У розвитку нових підходів до підвищення достовірності результатів прогнозування динаміки економічних процесів значну роль посідають праці вчених Б.Мандельброта та Р.Л.Хадсона [6]. Проте незважаючи на певні позитивні результати, застосування фрактального аналізу у сфері економічних досліджень все ще не набуло належного розвитку.

Виклад основного матеріалу. Економічні ряди динаміки складаються з певної послідовності значень економічних показників. Це може бути хронологічні моментні або часові інтервальні ряди значень показника, які дають змогу аналізувати особливості розвитку певного економічного явища. Наприклад, часовими рядами є щомісячні показники інфляції рівня зайнятості, щоквартальні значення середньої заробітної плати показників ВВП тощо. Аналіз динамічних рядів уможливлює виявлення закономірностей і тенденцій, які виявляються у явища, що досліджується.

На відмінну від випадкових вибірок, в яких прив’язка спостережень до часу не має значення, аналіз часових рядів базується на припущенні, що послідовні значення спостерігаються через рівні проміжки часу.

Існує дві основні мети аналізу часових рядів: визначення сутності ряду та прогнозування, тобто прогноз наступного значення часового ряду на основі теперішніх та минулих значень. Вирішення задачі прогнозування базується на допущенні, що фактори, які визначили поведінку системи у минулому, будуть зберігати свій вплив і в майбутньому. Тому головним завданням аналізу часових рядів є оцінка і визначення таких факторів з метою прогнозу поведінки системи у майбутньому[4].

Регулярні складові часових рядів у своїй більшості належать до двох видів: вони є або трендами, або сезонними складовими. Під сезонною складовою розуміють компоненту, що періодично змінюється, а тренд – це тенденція зміни економічних показників в економічному прогнозуванні. Ці два види регулярних компонентів можуть бути присутніми у числовому ряді одночасно.

Наприклад, продажі компанії можуть зростати з року в рік, але вони теж можуть мати сезонну складову – 10% річних продажів здійснюються влітку і 25% - в кінці року.

Таким чином, на сьогодні розроблено досить потужний математичний апарат економічного аналізу рядів динаміки. Головним завданням є виявлення закономірностей у поведінці процесу спостереження і прогнозування його розвитку у майбутньому. Традиційно для вирішення задач аналізу та прогнозування часових рядів використовуються методи математичної статистики. Але їх практична реалізація пов’язана з певними труднощами.

Наприклад, складність визначення ступеня достовірності отриманого прогнозу.

Оскільки часто розвиток того чи іншого економічного процесу обумовлений його внутрішніми закономірностями, а відхилення від детермінованого процесу викликані помилками, на практиці особливо важливим є дослідження процесів, що перебувають у так званому «перехідному» режимі, тобто стаціонарних процесів, у яких на досліджуваному проміжку часу виявляються властивості нестаціонарного часового ряду. В ситуації, коли часовий ряд формується під впливом набору випадкових і невипадкових факторів, пошуки методів, що забезпечують аналіз окремих його частин, набувають важливого значення для достовірного прогнозування поведінки досліджуваного процесу.

Застосування математичної теорії фрак талів розширює можливості аналізу часових рядів [6].

Фрактал – це само подібна множина, що має дробову розмірність.
Самоподібність фракталу означає, що фрагмент його структури є схожий на деяку свою частину або навіть структуру в цілому. З іншого боку, само подібність фрак талу означає схожість між різними фрагментами структури.
Класичним прикладом абстрактного фрак талу є множина Мандельброта.
Алгоритм побудови множини Мандельброта базується на ітеративному обчисленні за формулою:

, ,

де z та c – комплексні змінні.

Ітеративний процес продовжується доти, поки не вийде за межі кола радіусу 2, центр якого перебуває у точці (0,0), або ж після достатньо великої кількості ітерацій. В результаті на площині утворюється множина точок, які розподіляються у кладній закономірності.

Для визначення міри «зламаності» фрактальної структури використовуються такі характеристики теорії фракталів, як показник Херста (Н) та показник фрактальної розмірності (D) [3].

Взаємозв’язок між цими показниками був встановлений Б. Мандельбротом у вигляді такого співвідношення D=2-H.

Таким чином, показник Херста можна використовувати для класифікації та оцінки детермінованості реальних процесів, а також для оцінки часових інтервалів прогнозування на основі аналізу динамічних рядів.

Висновки. Часові ряди є одними з найпоширеніших об’єктів економічних досліджень. Аналіз властивостей часових рядів дозволяє передбачити поведінку економічної системи в майбутньому. Вирішення задачі прогнозування дозволяє знизити ризик прийняття помилкових, необґрунтованих або суб’єктивних управлінських рішень.
Отже, використання теорії фрак талів розкриває нові можливості в задачах економічного прогнозування на основі аналізу динамічних рядів. Фрактальний аналіз дає змогу класифікувати часові ряди за значенням показників Херста і фрактальної розмірності, що сприяє зростанню надійності прогнозів поведінки економічної системи у майбутніх періодах. Теоретичні дослідження на базі фрактального аналізу часових рядів надають ефективний інструментарій для математичного моделювання складних економічних систем.

Література

1. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временних рядов: Прогноз и управление. Вып. 1 – М.: Мир – 1974. – 406 с.

2. Андерсон Т. Статистический аналіз временних рядов. – М.: Мир,1976. – 755с.

3. Федер Е. Фракталы/Пер. С англ.. М.: Мир,1991. 254с.

4. Бідюк П.І., Савенков О.І., Баклан І.В. Часові ряди: моделювання і прогнозування. – К.: БКМО, 2003. – 144с.

5. Лук’яненко І.Г., Городніченко Ю.О. Сучасні економетричні методи у фінансах. Навч. Посібник. – К.: Літера ЛТД, 2002. – 352с.

6. Мандельброт Б., Хадсон Р.Л. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах. – М.: Вильямс, 2006. – 400с.