к.т.н. Турганбай К. Е., магистр Болаткызы М

Казахского агротехнического университета имени С.Сейфуллина, Казахстан

 

ХАОС В ПРОСТЫХ МОДЕЛЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

 

О динамической системе [1] говорят в том случае, если можно ука­зать такой набор величин, называемых динамическими перемен­ными и характеризующих состояние системы, что их значения в любой последующий момент времени получаются из исходного набора по определенному правилу. Это правило задает оператор эволюции системы. Если состояние системы задается набором N величин, то изменение состояния во времени, или динамику системы, можно представить как движение точки по траектории в N-мерном фазовом пространстве, которую называют фазовой траекторией.

Когда-то в понятие динамической системы вкладывали чисто механическое содержание, имея в виду набор тел, связанных си­ловыми взаимодействиями и подчиняющихся системе дифферен­циальных уравнений, вытекающих из законов Ньютона. По мере развития науки понятие динамической системы становилось ши­ре, охватывая объекты разной природы. Современное понятие ди­намической системы это результат длительной эволюции научных представлений и синтеза достижений многих дисциплин. Оно под­разумевает возможность задания оператора эволюции любым спо­собом, не обязательно дифференциальным уравнением. В частно­сти, в последнее время и в теоретических исследованиях, и в рабо­тах прикладного характера очень часто рассматривают системы с дискретным временем, которые описываются рекуррентными ото­бражениями [2]. В этом случае под фазовой траекторией следует пони­мать некоторую дискретную последовательность точек в фазовом пространстве.

Выделяют два класса динамических систем — консервативные и диссипативные.

В физике свойство консервативности понимается как сохране­ние энергии. В частности, механические колебательные системы в отсутствие трения относятся к консервативным системам. В при­сутствии трения механическая энергия не сохраняется, а посте­пенно рассеивается (диссипирует) и переходит в тепло, т. е. в энергию микроскопического движения молекул, составляющих си­стему и ее окружение. Строго говоря, в этом случае временная эво­люция должна определяться не только состоянием самой системы, но и окружением. Все же и в этой ситуации описание в рамках концепции динамических систем, заданных, например, диффе­ренциальными уравнениями, очень часто оказывается разумным и достаточно точным. Это будет уже диссипативная динамическая система [3].

Пусть мы имеем некоторую динамическую систему, т.е. за­дано фазовое пространство и указан оператор эволюции. Вместо одной системы рассмотрим ансамбль, состоящий из большого ко­личества ее идентичных копий, причем все представители ансам­бля могут отличаться друг от друга только лишь начальными усло­виями. В фазовом пространстве ансамбль представляется облаком изображающих точек. С течением времени каждая изображающая точка перемещается в фазовом пространстве, как предписано ди­намическими уравнениями системы, так что форма облака и его размеры будут меняться.

Может случиться, что объем облака в процессе временной эво­люции будет оставаться постоянным. Это характерно для консервативных систем, к которым относятся, в частности, рассматриваемые (Рис.1) в классической механике гамильтоновы си­стемы.

Что касается диссипативных систем, то для них характерно, что с течением времени облако изображающих точек «съежива­ется» и концентрируется в итоге на одном или нескольких ат­тракторах — подмножествах фазового пространства, обладаю­щих обычно нулевым фазовым объемом.

Рисунок 1. К определению консервативных (а) и диссипативных (б) динамических систем

 

         С точки зрения динамики во времени, это означает, что режим, возникающий в системе, предоставленной самой себе в течение длительного вре­мени, становится не зависящим от начального состояния (по край­ней мере, при вариации начальных условий в некоторых конечных пределах).[1]

Одним из важных понятий теории динамических систем явля­ется понятие инвариантного множества. Множество точек фа­зового пространства называют инвариантным в том случае, если фазовая траектория, стартующая из любой его точки, целиком при­надлежит этому множеству. Любой аттрактор есть инвариантное множество, но не наоборот. Неустойчивые неподвижные точки, не­устойчивые замкнутые орбиты — это тоже инвариантные множе­ства. В отличие от аттракторов, которые имеют место только в диссипативных системах, инвари­антные множества встречаются и в диссипативных, и в консерва­тивных динамических системах [4].

Следует четко осознавать, что понятие динамической системы есть теоретическая абстракция, так же как многие другие при­вычные и полезные научные абстракции (материальная точка, аб­солютно твердое тело, несжимаемая жидкость, идеальный газ). Реальные объекты могут рассматриваться как динамические си­стемы только в определенном приближении, в той мере, в какой при описании динамики можно игнорировать тонкие детали вну­тренней структуры системы и ее взаимодействие с окружающим миром.

Хаоти­ческие режимы характеризуются нерегулярным, похожим на слу­чайный процесс, изменением динамических переменных во вре­мени [1,4]. В диссипативных системах хаос ассоциируется с нали­чием в фазовом пространстве странных аттракторов — сложно устроенных фрактальных множеств, притягивающих к себе все траектории из некоторой прилегающей области.

 

Список использованной литературы

1.                 С.П.Кузнецов. Динамический хаос- М.: Физматлит, 2001.-296с.

2.                 Ашимов А.А., Сакабеков А.С., Боровский Ю.В., Волобуева О.П., Об алгоритмах исследования аттракторов динамических систем. Вестник МОиН РК, НАН РК, №3, 2002. - 4-10 стр.

3.                 Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. –М.: Факториал, 1999.-798 с.

4.                 Гукенхеймер Дж., Холмс Д. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей.-М.: Наука, 2002.-560 с.