Соколова И.А.,Тарасюк Е.Н.

Лесосибирский педагогический институт – филиал ФГАОУ ВПО

«Сибирский федеральный университет», Лесосибирск

Применение прогрессий к решению геометрических задач

Тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии» изучается в разделе «Алгебра», поэтому геометрические задачи на прогрессии вызывают у учащихся с одной стороны интерес, а с другой стороны - некоторые затруднения при поиске пути решения. Среди задач указанного типа можно выделить два вида:

1. Задачи на нахождение неизвестных элементов в треугольниках, стороны или углы которых образуют прогрессии.

2. Задачи, в условии которых ничего не говорится о прогрессиях, то есть учащимся нужно самостоятельно догадаться о необходимости их использования при решении задачи.

Приведем несколько примеров задач первого и второго типа:

Задача 1 [1:56]. Стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найти стороны треугольника.

Решение: Пусть наименьший катет , тогда второй катет и гипотенуза где - разность прогрессии, . По теореме Пифагора или . Решая это однородное уравнение, получим и (не удовлетворяют условию задачи). Имеем, , ( где - любое число), то есть условию задачи удовлетворяют прямоугольные треугольники, подобные египетскому.

Задача 2 [1:74]. Сторона квадрата равна . Середины сторон этого квадрата соединили отрезками. Получился новый квадрат. С новым квадратом поступили точно так же, как и с предыдущим, и т.д. Найти предел суммы периметров и предел суммы площадей этих квадратов.

Решение: Найдем длину стороны нового квадрата, если сторона предыдущего квадрата равна . Так как сторона нового квадрата – это гипотенуза равнобедренного прямоугольника с катетами , то она равна . Следовательно, сумма периметров и сумма площадей всех образующих квадратов будут равны

и представляют собой суммы бесконечно убывающих прогрессий со знаменателями и соответственно. Поэтому,

,

.

Ответ: , .

Задача 3 [3:56]. Длины сторон , и треугольника образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найти во сколько раз высота треугольника , опущенная из вершины на сторону , больше радиуса вписанной в этот треугольник окружности.

Решение: Рассмотрим треугольник и проведем в нем высоту ( рис. 1). Зная, что стороны AB, BC, AC треугольника ABC образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, введем следующие обозначения. Пусть AB, тогда BC, a AC. Здесь – это разность арифметической прогрессии. Теперь запишем формулы для вычисления площади треугольника. Площадь треугольника АВС можно вычислить с помощью высоты, проведенной из вершины A к стороне BC. Имеем: С другой стороны, площадь треугольника АВС можно вычислить с помощью полупериметра и радиуса вписанной в этот треугольник окружности:

Полученные для площади треугольника выражения можно приравнять. Будем иметь = Сократив левую и правую часть полученного уравнения на , получим = Откуда Таким образом, мы получили, что высота треугольника в три раза больше радиуса вписанной в этот треугольник окружности.

Анализируя решения задач, можно заметить, что основная сложность содержится в задачах второго типа – трудно увидеть прогрессию в задачах, в условии которых ничего о них не сказано. Целесообразность их изучения связана с тем, что обучение учащихся дополнительному материалу по содержательно-методической линии прогрессии в геометрических задачах способствует реализации внутрипредметных связей школьных курсов алгебры и геометрии и является выигрышным для восприятия.

Литература:

1. Азаров А.И. Системы алгебраических уравнений. Текстовые задачи [Текст]: учебное пособие/А.И. Азаров-Мн,1998. - 288 с.

2. Нагорнов О. В. Сборник задач по алгебре. Часть 2. Иррациональные, тригонометрические, логарифмические уравнения и неравенства. Прогрессии. В помощь учащимся 10–11 классов [Текст]: учебное пособие/ О. В. Нагорнов, А.В. Баскаков–М.: НИЯУ МИФИ, 2009.-160 с.

3. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих во втузы, [Текст]: учебное пособие/ М. И. Сканави, В. К. Егерев.– М.: ООО Издательство «Мир и образование»: ООО «Издательство ОНИКС-ЛИТ»,2013.– 608 с.