Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения

Карсыбаева З.С., Мырзагалиева А.Х.

Евразийский национальный университет, г. Астана, Казахстан

Об ограниченности одного дифференциального оператора

в пространствах Соболева

Пусть . Через обозначим пространство Лебега функций с нормой

,

соответственно пространство Соболева с конечной нормой

.

Пусть положительная локально суммируемая в функция. Весовым пространством типа Соболева назовем пространство всех функций, имеющих в абсолютно непрерывные производные порядка и конечную весовую норму вида

.

Рассмотрим дифференциальный оператор

, (1)

определенный на , где , где имеют на производные до порядка включительно.

Цель данной работы заключается в получении условий на функции и , при которых оператор будет ограниченным оператором, действующим из пространства в пространство . Таким образом, мы должны найти описание функций и , при которых выполняются следующие условия:

1. для всех ;

2. Существует постоянная для всех .

Пусть . Введем функцию

По функции построим интервалы

Определение 1. Будем говорить, что v(t) удовлетворяет условию медленного колебания относительно h(x), если существуют постоянные 0<b₁<b₂ такие, что

. (2)

Положим

(3)

Здесь наилучшие постоянные в неравенствах Соболева (см. ниже оценки (6) и (7)), некоторая постоянная.

Теорема 1. Пусть , функция удовлетворяет условию медленного колебания (2) и существует такая постоянная K>0, что

, для любого t∊∆(x). (4)

Если и подчиняются условиям

относительно , то дифференциальный оператор L есть ограниченный оператор, действующий из в , при этом норма

. (5)

Доказательство теоремы 1 будет опираться на следующие утверждения:

Утверждение 1. Для функции справедлива оценка

(6)

Утверждение 2. Пусть . Тогда для любого имеет место неравенство

, (7)

.

Оценки (6) и (7) следуют из известных неравенств Соболева [1]:

Существует постоянная такая, что для любой функции справедлива оценка

. (8)

Существует постоянная такая, что для любой функции справедлива оценка

. (9)

Здесь - класс всех -раз непрерывно дифференцируемых функций на .

Доказательство теоремы 1.

Имеем

. (10)

Представим как дизъюнктивное объединение , где .

ая степень первого слагаемого в (10)

. (11)

В силу утверждения 2 (неравенство (7)) имеем

, (12)

где .

В неравенстве (12) ко второму слагаемому в правой части применим условие (2). Тогда

. (13)

Теперь из условия (4) теоремы 1 получим

(14)

В силу неравенств (12) и (14) имеем

(15)

Итак, получили, что

. (16)

Рассмотрим второе слагаемое в (10)

(17)

В (17) будем отдельно оценивать каждое слагаемое:

.

Имеем

(18)

Применим к выражению в (18) оценку (6)

, (19)

где .

С учетом неравенства (19) перепишем оценку (18)

(20)

К выражению в фигурной скобке применим неравенство (14). Получим

(21)

Вспомним, что в основном неравенстве (10) идет оценка второго слагаемого, которое имеет вид:

В этом выражении оценка первой суммы сделана в (21), перейдем к оценке второй суммы

,

(22)

Из (21) и (22) следует

. (23)

Выпишем третье слагаемое

. (24)

Для суммы в правой части (24) с помощью аналогичных (17)-(22) выкладок получаем оценку

(25)

Из (16), (23) и (25) следует (5). Теорема доказана.

Определение 2. Всякую положительную непрерывную на функцию h^*(˖) будем называть функцией длины (на).

Примеры функций длины:

1.

2. , .

3. , где при .

Теорема 2. Пусть , функция удовлетворяет условию медленного колебания (2) относительно функции длины и существует такая постоянная , что

для любого .

Если и подчиняются условиям:

то дифференциальный оператор есть ограниченный оператор, действующий из в , при этом норма

.

Замечание. Оценки норм для дифференциальных операторов в невесовых пространствах Соболева ранее рассматривались в работе [2].

Литература:

1. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977, 456 стр.

2. Мазья В.Г., Шапошникова Т.О. Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1986, 404 стр.