Абатов Н.Т., к-ф. н., доцент
Костанайский государственный университет им. А.Байтурсынова
г.Костанай,
Казахстан
О методах решения некоторых логарифмических неравенств
Выпускники школ затрудняются при решении сложных логарифмических
неравенств, которые часто встречаются на ЕНТ по математике. Поэтому рассмотрим
некоторые сложные логарифмические неравенства и укажем способы их решения.
№1. Решите неравенство:
- 
+ 3 
Решение. Преобразуем данное неравенство к виду:
Применяем формулу:
Тогда имеем:
.
Введём замену 
. Тогда получаем
квадратное неравенство:
(
1 )
Применяем метод интервалов. Тогда 
решение неравенства ( 1 ).
Производим обратную замену 
Тогда имеем:
Таким образом, [-8;-2] решение исходного
неравенства.
Ответ: [-8;-2].
№2. Решите
неравенство: 
Решение.
Применяем формулу 
где x
a
> 0, 
Тогда 
и данное неравенство примет вид:
Введем замену 
. Тогда получаем
неравенство 
Применяем метод интервалов. Тогда 
решение неравенства 
Производим обратную замену 
и учтем область определения функции. Тогда
имеем:
a)
Эта система неравенств не имеет решений.
b)
Тогда [9;
решение исходного
неравенства.
Ответ: [9;
.
№3. Решите неравенство: 
Решение. Применяя формулы :
и приводим к одному
основанию 2. 
Введём замену 
Тогда имеем:
(
2 )
Это дробно-рациональное неравенство. Применяем
метод интервалов. Тогда
решение дробно-рационального неравенства ( 2 ).
Производим обратную замену : 
. Учтём область
определения исходной функции: 
Тогда имеем:
a)
Итак, [0,25; 1) является решением неравенства в первом случае.
b)
Тогда [8;
решение неравенства во
втором случае.
Объединяем найденные
решения. Тогда [0,25; 1)
[8;
решение исходного
неравенства.
Ответ: [0,25; 1)
[8;
.
№4. Решите неравенство: 
.
Решение. Применяем формулу
где
Тогда имеем:
Введём замену: y = lgx.
Тогда имеем: 
Решением квадратного неравенства является
множество 
Производим обратную замену: y = lgx.
Тогда:
Тогда множество 
является решением исходного неравенства.
Ответ: 
.
№5. Решите неравенство: 
Решение. Применяем формулу: 
Тогда имеем:
Логарифмируем обе части данного неравенства по
основанию 5. Тогда имеем:
Тогда множество 
Ответ: 
Литература
1. Абатов Н.Т. Методы решения задач по математике. Алгебра. Учебное пособие для поступающих в ВУЗы.- Костанай, 1998г.
2. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике. Справочное пособие.-Москва,1995г.
3. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Учебное пособие / Под редакцией М.И. Сканави.-Москва,1978г.