Абатов Н.Т., к.ф-м.н., доцент

Костанайского государственного университета им. А.Байтурсынова г.Костанай, Казахстан

О методах решения некоторых тригонометрических неравенств

Выпускники школ затрудняются при решении сложных тригонометрических неравенств, которые часто встречаются на ЕНТ по математике. Поэтому рассмотрим некоторые сложные тригонометрические неравенства и укажем способы их решения.

Задача №1. Решите неравенство:

Решение. Применяем формулу Тогда

уравнение примет вид: 2(1-

.

Введём замену: y. И получаем квадратное неравенство:

.

Применяем метод интервалов. Находим корни квадратного трехчлена:

Тогда множество является решением квадратного неравенства .

Производим обратную замену y. Тогда имеем: .

Это двойное неравенство равносильно неравенству так как областью допустимых значений функции y является множество

Итак, решаем неравенство

Ответ: [.

Задача №2. Решите неравенство:

Решение. Применяем формулу:

Тогда имеем:

Введём замену: Тогда получаем квадратное неравенство: Применяем метод интервалов. Тогда множество является решением неравенства

Производим обратную замену: Тогда имеем: .

Решением этого двойного тригонометрического неравенства является совокупность двух неравенств вида:

Преобразуем полученные неравенства:
.

Ответ: [ .

Задача №3. Решите неравенство:

Решение. Применяем формулу двойного угла:

Тогда данное неравенство примет вид:

Введём замену: Тогда имеем: Применяем метод интервалов. Тогда множество является решением неравенства

Производим обратную замену: Тогда имеем: .

Это двойное неравенство равносильно неравенству: так как областью допустимых значений функции y является множество

Итак, решаем неравенство

Ответ: [ .

Задача №4. Решите неравенство:

Решение. Применяем формулу

Тогда имеем:

Учтём, что функция положительная в первой и во второй четвертях. Поэтому неравенство имеет решение:

Ответ:

Задача №5. Решите неравенство:

Решение. Обе части данного неравенства умножим на и применяем формулу

Тогда имеем: ;

Находим решение полученного неравенства:

Итак, множество [ является решением исходного неравенства.

Ответ: [

Литература

1. Абатов Н.Т. Методы решения задач по математике. Алгебра. Учебное пособие для поступающих в ВУЗы.- Костанай, 1998г.

2. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике. Справочное пособие.-Москва,1995г.