Аширбекова Ф.Д.

(Учитель математики КГУ « ОШ № 75 им.Ш.Кудайбердiулы»,Казахстан, Алматы)

К ВОПРОСУ О ВВЕДЕНИИ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ

И СПОСОБАХ ЕЕ ЗАДАНИЯ

Овладение будущими учителями некоторыми общими понятиями современной алгебры является основным направлением предметно-теоретической подготовки по математике, так как, во-первых, они представляют собой теоретическую основу изучаемых в школе элементов алгебры, в числе которых выражение и его виды, числовое равенство, числовое неравенство, уравнение и способы его решения, решение задач с помощью составления уравнений, зависимости и отношения между величинами, объектами, множествами.

Во-вторых, это позволяет поднять на более высокий качественный уровень теоретико-математическую подготовку будущего учителя начальных классов и поможет понять сущность математического моделирования реальных явлений и процессов.

В-третьих, развивает общий кругозор и математическую культуру специалиста за счет расширения алгебраических понятий и способов действий по сравнению с элементами алгебры, изучаемых в начальной школе.

В-четвертых, усиливает прикладные направления курса, так как находят широкое применение знания, полученные в процессе изучения программных материалов курса математики .

Одним из важнейших алгебраических понятий является понятие функции, которое отражает взаимосвязь и взаимозависимость объектов и явлений.

В настоящее время существует несколько вариантов определения понятия «функция». В частности, понятие «функция» может выступать как первичное (неопределяемое) математическое понятие.

В другом варианте первичным считается понятие отображения и функцией же понимается отображение одного множества Х в другое множество У. Для этого случая характерно то, что в паре с каждым элементом хєХ находится один и только один элемент уєУ.

Для обозначения функции обычно используют символы: f. Множество Х называют областью определения функции, а У – областью значений функции. Функция f с областью определения Х и значениями из У обозначается символически ХУ или с помощью переменных у=а(х), ху, хєХ, уєУ. Вместо у для обозначения функции часто применяется символ f(х). Тогда функция может быть обозначена символически так х f(х). Элемент множества Х иногда называют аргументом функции, тогда говорят, что f – функция аргумента х или переменной х [1].

Понятие «функция» может быть определено как некоторое соответствие между элементами множеств, т.е. оно определяется через понятие соответствие. Тогда функцией называется всякое много-однозначное или взаимно-однозначное соответствие между элементами Х и У.

Понятие «функция» можно также определить как зависимость одной переменной от другой. И тогда функцией называется такая зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению х соответствует единственное значение у. В этом случае переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Иногда говорят также, что у является функцией от х. Значения у, которые соответствуют значению х, называют значением функции.

Наиболее распространенным способом задания функции является аналитический способ, т.е. задание функции с помощью формулы. указывающей совокупность операций, которые надо выполнить, чтобы по значению аргумента найти соответствующее значение функции. При этом указывают область определения функции. Если область определения функции, заданной формулой не указана явно и нет каких-либо дополнительных ограничений, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которой формула имеет смысл.

Функцию можно задать с помощью некоторой линии на координатной плоскости, которая называется ее графиком. Вообще с каждой функцией связана некоторая линия – график этой функции. Но обратное утверждение не всегда верно. Дело в том, что при заданном хєХ существует лишь одно значение функции у, соответствующее этому значению х. Поэтому, на каждой прямой параллельной оси ординат, может лежать не более одной точки графика функции. Например, окружность не является графиком какой-либо функции, так как существуют прямые параллельные оси ординат, на которых лежат две точки окружности. Графиком функции у=f(х), хєХ называют множество пар (х;у) таких, что хєХ, а у=f(х), т.е. пар вида (х;у)= у=f(х), хєХ.

Функция может быть задана с помощью таблицы. Дело в том, что в некоторых случаях можно составить таблицу, которая позволяет находить значения функции для выбранных значений аргумента. Примерами таких таблиц являются таблицы кубов и квадратов чисел, таблицы значений тригонометрических функций и т.п. Тем более, когда множество Х конечное, то удобно использовать соответственные значения переменных. В таких случаях говорят о табличном способе задания функции.

Удобнее изучать функцию, заданную аналитическим и графическим способами. В связи с этим определим некоторые числовые функции, которые будут заданы аналитически и изучим их по следующей единой схеме:

* рассмотрим конкретную ситуацию (или задачу), приводящую к данной функции;

* сформулируем определение функции и зададим ее формулой, проведем исследование входящих в эту формулу параметров;

* изображаем изучаемую функцию графически, т.е. построим ее график;

* рассмотрим некоторые свойства (область определения D(f) и область значений E(f), возрастание и убывание, нули, промежутки знакопостоянства и т.д.) функции [2].

Рассмотрим конкретную ситуацию, приводящую к данной функции;

Пусть t – время движения пешехода (в часах), S – пройденный им путь (в километрах), он движется со скоростью - v (км/ч). Тогда каждому значению t соответствует единственное значение S, при постоянной скорости v, получаемое по формуле S=v·t. Эта формула S=v·t задает функцию, которая называется прямой пропорциональностью, т.е. расстояние S прямо пропорционально времени t.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы вида y=kx, где x – неизвестная переменная, k0 и kєR..

· Функция y=k x обладает следующими свойствами.

· Областью определения (и значения) функции является множество R.

· Графиком функции является прямая, проходящая через начала координат, так как при х=0 и у=0, k0 и kєR.

· При k>0: если x>0, то y>0 и если x<0, то y<0.

· При k<0: если x>0, то y<0 и если x<0, то y>0.

Прямая, которая является графиком прямой пропорциональности, проходит через I и III координатные четверти, если k>0, а через II и IV координатные четверти, если k<0. Для построения графика достаточно одной точки.

* При k>0, функция возрастает на R, а при k<0, она убывает. Следует иметь в виду, что вообще функция f называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых и из множества Х выполняется условие Функция называется множества Х убывающей на некотором промежутке, если для любых и из множества Х выполняется условие

* Если значениями переменных х и у являются положительные числа, то с увеличением (уменьшением) значений переменной х в несколько раз, соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз, т.е. имеет место, что

Рассмотрим задачу, приводящую к определению обратной пропорциональности .

Пусть S (км) – расстояние, которое требуется пройти пешеходу, t (ч) – время движения, v – его скорость, то каждому значению скорости vсоответствует единственное значение времени t. Следовательно, формула задает функцию, которая называется обратной пропорциональностью, т.е. скорость v обратно пропорционально времени t.

Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать при помощи формулы вида , где х – независимая переменная, k0 и kєR.

* Функция , обладает следующими свойствами.

* Областью определения (и значения) функции является множество R, где х0( у0).

* Графиком функции является кривая линия, называемая гиперболой, которая состоит из двух ветвей. При k>0 ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях, а при k<0 во II и IV координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат. Гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно к ним приближается, так как

* При k>0: если x> 0, то y>0 и если x<0, то y<0.

* При k<0: если x>0, то y<0 и если x<0, то y>0.

* На функция возрастает, при k<0 и она убывает, при k>0.

* Если значениями переменных х и у являются положительные числа, то с увеличением (уменьшением) значений переменной х в несколько раз, соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз, т.е. имеет место, что

Стоимость поездки на такси определяется по следующему правилу. Пассажиру за каждый километр пути надо платить 200 тенге и еще 100 тенге за каждую поездку. Если проехали х км, то стоимость этой поездки выражается формулой у=200х+100. Эта формула является частным случаем общей зависимости вида у = kx + b.

Определение. Линейной функцией называется функция, которую можно задать при помощи формулы вида у = kx + b, где х – независимая переменная, k, b є R. Если, в частности, k=0, то получается функция вида y=b и ее называют постоянной функцией.

· Функция у = kx + b обладает следующими свойствами.

· Областью определения (и значения) функции является множество R.

· Графиком функции является прямая линия. Положение этой прямой на плоскости определяют коэффициенты k и b. Для построения графика, очевидно, достаточно, двух точек, например A(0; b) Если k>0, то прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс, а если же k<0, то прямая образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс. Коэффициент k характеризует угол, которая образует прямая с положительным направлением оси абсцисс. Его называют угловым коэффициентом прямой. Если коэффициент k=0, то прямая, которая является графиком функции, совпадает с осью ОХ.

Коэффициент b есть значение длины отрезка, отсекаемого прямой на оси ОУ. При b>0 прямая отсекает ось ОУ на расстоянии b единиц выше начала координат, а при b<0, на расстоянии b единиц ниже начала координат.

· При k>0: если x> то y>0 и если x< то y<0.

· При k<0: если x> то y<0 и если x< то y>0.

· На R функция возрастает, при k>0 и она убывает, при k<0.

Термин «функция» (от латинского function – исполнение, совершение) ввел впервые знаменитый немецкий математик XVII века Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) в 1694 году. Функциями он назвал абсциссы, ординаты и другие отрезки, связанные с точкой, описывающей некоторую линию. Дальнейшее развитие математического анализа привело уже в первой половине XVIII века к переходу от наглядной, геометрической или механической, точки зрения на функцию к точному ее «аналитическому», т.е. алгебраическому, определению.

В 1718 году известный швейцарский математик Иоганн Бернулли писал: «Функцией переменной величины называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной и постоянных».

Аналогичное определение дал ученик Иоганна Бернулли, академик Леонард Эйлер, который в знаменитом своем произведении «Введение в анализ», изданном в Петербурге в 1748 году, писал: «Функция переменной величины есть аналитическое выражение, составленное каким-нибудь способом из этой переменной величины и из чисел либо из постоянных величин» [3].

Таким образом, согласно точке зрения Бернулли и Эйлера каждая функция должна быть выражена аналитически, т.е. некоторой формулой, например у = ах + b; у = а+ bх + с; у=; s= vt; и т.д. Такая точка зрения на функцию сохранилась на протяжении всего XVIII века. Это объясняется тем, что математические формулы были наилучшим и вполне достаточным средством для исследования всех известных в ту эпоху функций.

Отметим, что эволюция понятия функции еще далеко не закончена. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий.

Туiн

Макалада функция тапсырмаларынын ар турлерi карастырылады.

ЛИТЕРАТУРА

1. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х томах. Т. 1. Алгебра и начала анализа: Пер. с нем.- М.: Наука, 1987.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1981.

3. Оспанов Т.К. Основы математики начальной школы. Алматы, 2009.