Обзор методов моделирования промышленных процессов

Магистрант Налибаев М.С.

Руководитель Оспанова А.О.

Южно-Казахстанский государственный университет по имене М.О.Ауэзова

Обзор методов моделирования промышленных процессов

1.1. Виды моделей и способы моделирования

Модель - это упрощенное представление реальности. Моделью является, например, чертеж системы. Основное свойство модели в том, что она - семантически замкнутая абстракция системы. Она строится для того, чтобы лучше понять разрабатываемую систему, визуализировать ее, определить структуру или поведение. Сложные системы моделировать просто необходимо, поскольку иначе мы не сможем их воспринять как единое целое.

Моделирование - метод исследования систем на основе переноса изучаемых свойств системы на объекты другой природы. Это один из основных методов исследования окружающей действительности. Инженерная методика изготовления моделей является устоявшейся и повсеместно принятой. Она позволяет решить несколько важных задач:

· визуализировать систему;

· определить структуру системы и ее поведение;

· документировать принимаемые решения.

Наконец, моделирование - это попытка решить проблему сложности. Существует четыре основных принципа моделирования [Буч, Рамбо, Джекобсон 2000].

· Выбор модели оказывает определяющее влияние на подход к решению проблемы и на то, как будет выглядеть это решение.

· Каждая модель может быть воплощена с разной степенью абстракции.

· Лучшими моделями являются те, которые ближе к реальности.

· Следует использовать совокупность нескольких моделей.

Модель – это некоторый упрощенный заменитель реального объекта или системы.

Модели бывают информационные – описание объекта, математические – описание объекта в виде математических формул, физические – упрощенное подобие реального объекта, экономические – представление объекта в виде экономических расчетов. Все наши знания о реальном мире – это множество информационных моделей Математические и информационные модели в настоящее время почти совпадают в связи с совпадением инструментального и программного обеспечения для разработки модели. При составлении информационной модели нужно не только выбрать признаки объекта, которые в нее будут включены, но и решить, как будет организована информация в памяти компьютера. Ведь чтобы данными можно было воспользоваться, они не должны быть "свалены в кучу", их необходимо каким-либо образом упорядочить.

Математические модели - очень широкий класс знаковых моделей (основанных на формальных языках над конечными алфавитами), широко использующих те или иные математические методы. Например, можно рассмотреть математическую модель звезды. Эта модель будет представлять собой сложную систему уравнений, описывающих физические процессы, происходящие в недрах звезды. Математической моделью другого рода являются, например, математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный (наилучший с экономической точки зрения) план работы какого-либо предприятия.

Информационные модели - класс знаковых моделей, описывающих информационные процессы (возникновение, передачу, преобразование и использование информации) в системах самой разнообразной природы.

Граница между математическими и информационными моделями может быть проведена весьма условно; вполне возможно считать информационные модели подклассом математических моделей.

Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.

Математическое моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограниченны и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных. В данной главе доминируют численные методы, реализуемые на компьютерах. Это связано с тем, что моделирование здесь рассматривается под углом зрения компьютерных (информационных) технологий. Такой подход несколько сужает возможности метода в целом; его достоинство - некоторое снижение барьера необходимой математической подготовки (хотя, разумеется, и в численные методы при профессиональном занятии математическим моделированием приходится углубляться настолько, что при этом требуется значительное математическое образование). Наконец, отметим, что понятия «аналитическое решение» и «компьютерное решение» отнюдь не противостоят друг другу, так как

а) все чаще компьютеры при математическом моделировании используются не только для численных расчетов, но и для аналитических преобразований;

б) результат аналитического исследования математической модели часто выражен столь сложной формулой, что при взгляде на нее не складывается восприятия описываемого ей процесса. Эту формулу (хорошо еще, если просто формулу!) нужно протабулировать, представить графически, проиллюстрировать в динамике, иногда даже озвучить, т.е. проделать то, что называется «визуализацией абстракций» . При этом компьютер - незаменимое техническое средство.

1.2. Компьютерное моделирование

Алгоритм - точное и конечное описание того или иного общего метода, основанного на применении исполнимых элементарных тактов обработки.

Компьютер - вычислитель, он не понимает программу, а исполняет ее. Наиболее естественный способ указать компьютеру ход исполнения программы - записать ее в виде алгоритма (на алгоритмическом языке). Современное значение слова "алгоритм" во многом аналогично таким понятиям, как рецепт, процесс, метод, способ. Алгоритм имеет пять важных свойств [Кнут 2000].

· Конечность. Алгоритм всегда должен заканчиваться после выполнения конечного числа шагов.

· Определенность. Каждый шаг алгоритма должен быть точно определен.

· Наличие входных данных. Алгоритм имеет некоторое число входных данных, задающихся до начала его работы или определяющихся динамически во время его выполнения.

· Наличие выходных данных. Алгоритм имеет одно или несколько выходных данных, имеющих определенную связь с входными данными.

· Эффективность. Алгоритм обычно считается эффективном, если его операторы достаточно просты для того, чтобы их можно было точно выполнить в течение конечного промежутка времени с помощью карандаша и бумаги.

С алгоритмами связаны приведенные ниже области исследований.

· Анализ алгоритмов, состоит в том, чтобы для заданного алгоритма определить рабочие характеристики. Например, часто желательно, чтобы алгоритм был быстрым.

· В теории алгоритмов рассматриваются вопросы существования или не существования эффективных алгоритмов вычисления определенных величин.

· Построение алгоритмов, где рассматриваются стандартные приемы и методы, используемые при написании алгоритмов.

Большинство практических алгоритмов, с которыми работают программисты, являются полиномиальными. Это означает, что время работы алгоритма на входе длины n составляло не более o(nk) для некоторой константы k, не зависящей от n. Не всякая задача может быть решена за полиномиальное время. Некоторые решаются лишь за экспоненциальное, а некоторые вообще не могут быть решены никаким алгоритмом.

Процесс компьютерного математического моделирования включает численный эксперимент с моделью (рис. 1.1).

Первый этап - определение целей моделирования. Основные из них таковы:

1) модель нужна для того, чтобы понять как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);

2) модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

3) модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Выработка концепции управления объектом - другая возможная цель моделирования. Какой режим ведения процесса наибольшим образом обеспечит производительность? Как можно получить максимальный выход продукции с единицы объема аппарата? Эти задачи решает управление.

Наконец, прогнозирование последствий тех или иных воздействий на объект может быть как относительно простым делом в несложных физических системах, так и чрезвычайно сложным - на грани выполнимости - в системах биолого-экономических, социальных.

Рисунок 1.1. Общая схема процесса компьютерного математического моделирования

Если относительно легко ответить на вопрос об изменении режима распространения тепла в химическом реакторе, то несравненно труднее проследить (предсказать) поведение реактора при существенных изменеиях внешней среды, исходного продукта и т.д.. Возможно, и здесь методы математического моделирования будут оказывать в будущем более значительною помощь.

Составим список величин, от которых зависит поведение объекта или ход процесса, а также тех величин, которые желательно получить в результате моделирования. Обозначим первые (входные) величины через х₁, x₂, .... х_n; вторые (выходные) через y₁,y₂, … ,y_k. Символически поведение объекта или процесса можно представить в виде

у_j = F_j (x₁, х₂,....x_n) (j=1,2,..., k), (1.1)

где F_j - те действия, которые следует произвести над входными параметрами, чтобы получить результаты. Хотя запись F (x₁, x₂, ..., х_n) напоминает о функции, мы здесь используем ее в более широком смысле. Лишь в простейших ситуациях F(x) есть функция в том смысле, который вкладывается в это понятие в учебниках математики; чтобы это подчеркнуть, лучше использовать по отношению к F(x) термин «оператор».

Входные параметры x_i могут быть известны «точно», т.е. поддаваться (по крайней мере, в принципе) измерению однозначно и с любой степенью точности - тогда они являются детерминированными величинами. Так, в классической механике, сколь сложной ни была бы моделируемая система, входные параметры детерминированы - соответственно, детерминирован, однозначно развивается во времени процесс эволюции такой системы. Однако, в природе и обществе гораздо чаще встречаются процессы иного рода, когда значения входных параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются вероятностными (стохастическими), и, соответственно, таким же является процесс эволюции системы (случайный процесс).

«Случайный» - не значит «непредсказуемый»; просто характер исследования, задаваемых вопросов резко меняется (они приобретают вид «С какой вероятностью...», «С каким математическим ожиданием...» и т.п.). Для стохастической модели выходные параметры могут быть как величинами вероятностными, так и однозначно определяемыми. Например, среднее время ожидания есть величина вполне определенная, и именно она может быть объектом моделирования.

Важнейшим этапом моделирования является разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием (разделением по рангам). Чаще всего невозможно (да и не нужно) учитывать все факторы, которые могут повлиять на значения интересующих нас величин y_j. От того, насколько умело выделены важнейшие факторы, зависит успех моделирования, быстрота и эффективное гь достижения цели. Выделить более важные (или, как говорят, значимые) факторы и отсеять менее важные может лишь специалист в той предметной области, к которой относится модель. Так, опытный учитель знает, что на успех контрольной работы влияет степень знания предмета и психологический настрой класса; однако, влияют и другие факторы - например, каким уроком по счету идет контрольная, какова в этот момент погода и т.д. -фактически проведено ранжирование.

Отбрасывание (по крайней мере при первом подходе) менее значимых факторов огрубляет объект моделирования и способствует пониманию его главных свойств и закономерностей. Умело ранжированная модель должна быть адекватна исходному объекту или процессу в отношении целей моделирования. Обычно определить адекватна ли модель можно только в процессе экспериментов с ней, анализа результатов.

На рис. 1.2 проиллюстрированы две крайние ситуации: а) некоторый параметр х, очень сильно влияет на результирующую величину y_j, б) почти не влияет на нее. Если все представляющие интерес величины у_j реагируют на х_i так, как изображено на рис. 1.2, б, то х_i является параметром, который при первом подходе может быть из модели исключен; если же хотя бы одна из величин у_j реагирует на изменение x_i так, как изображено на рис. 1.2, а, то х_i нельзя исключать из числа важнейших параметров.

Следующий этап - поиск математического описания. На этом этапе необходимо перейти от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение. В этот момент модель предстает перед нами в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциального уравнения или системы таких уравнений и т.д.

Рисунок 1.2. Варианты степени влияния величины х, на результирующую величину y_i

Когда математическая модель сформулирована, выбираем метод ее исследования. Как правило, для решения одной и той же задачи есть несколько конкретных методов, различающихся эффективностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса.

Разработка алгоритма и составление программы для ЭВМ - это творческий и трудно формализуемый процесс. В настоящее время при компьютерном математическом моделировании наиболее распространенными являются приемы объектно-ориентированного программирования.

После составления программы решаем с ее помощью простейшую тестовую задачу (желательно, с заранее известным ответом) с целью устранения грубых ошибок. Это -лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. По существу, тестирование может продолжаться долго и закончиться тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной.

Затем следует собственно численный эксперимент, и выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов.

1.3.Системный подход к моделированию промышленных процессов

Промышленные процессы в химических реакторах относятся к сложным физико-химическим системам, моделирование которых возможно на основе системного анализа.

Принцип системного анализа процессов в химических реакторах позволяет выявить явления, наиболее сильно влияющие на скорость химического процесса. При этом принципе процессы в химических реакторах рассматриваются как иерархическая система.

Принцип системного подхода к моделированию химических реакторов, как уже отмечалось выше, предполагает детальное изучение микрокинетики и макрокинетики процесса.

На первом уровне иерархии данной физико-химической системы, к которой можно отнести химический реактор, представляет собой совокупность химических явлений, характеризующих кинетику процессов полимеризации на стадии инициирования, роста и обрыва полимерной цепи, т.е. микрокинетику процесса.

На последующем уровне иерархии рассматриваются процессы, характеризующие условия ведения процесса полимеризации в реакторах, характеристики исходного сырья, режимные параметры процесса, т.е. макрокинетика процесса.

Задачам моделирования химических реакторов посвящено большое количество работ. Имеется немало статей и монографий по вопросам моделирования химических реакторов /5, 6, 7, 8/.

Принцип системного подхода, предлагаемый в этих работах, выделяет два класса задач: задача анализа и задача проектирования.

Задача анализа заключается в изучении свойств и связей явлений, протекающих в жидкофазном химическом реакторе, выявлении подсистем и их взаимосвязи, установлении механизмов физико-химических процессов, протекающих в подсистемах.

Главной целью задачи анализа является математическое описание характеристик состояния системы в их взаимосвязи с характеристиками внешней среды и между собой. Решение этой задачи возможно на основе глубокого изучения процессов и явлений, протекающих в реакторах.

Задача проектирования химических реакторов включает в себя определение размеров, формы реакторов, определение рабочих условий ведения процесса.

При решении задачи анализа тип и конструктивное оформление реактора являются заданными. Исходя из этого, моделирование химического реактора предполагает следующую структурную схему реактора, позволяющую учесть зависимость поведения химического реактора от целого ряда самых различных процессов физического и химического характера, которые определенным образом взаимодействуют между собой.

При этом можно выделить следующие блоки схемы:

1. блок гидродинамических процессов,

2. блок массообменных процессов,

3. блок теплообменных процессов,

4. блок химических процессов, под которыми и подразумевается кинетика процесса полимеризации.

Блок гидродинамики формирует структуру уравнений математической модели и включает сведения о структуре потоков фаз в реакторе, условий из взаимодействия.

Блок массообмена определяет уравнения массообмена на основе законов сохранения массы, включает сведения о скорости процессов массопереноса.

Блок теплообмена определяет тепловой режим в реакторе.

Блок химической кинетики формируется на основе исследований протекания химической реакции и содержит сведения о механизме, условий протекания реакции и представляют собой уравнения скорости химической реакции.

Взаимосвязи между блоками определены на структурной схеме на рисунке 1.3 перекрестными связями между блоками.

Для реакторов непрерывного действия в зависимости от характера смешения жидкостных потоков, условия перехода от малых реакторов к промышленным реакторам могут определяться либо только видом функции распределения, либо состоянием микросмешения.

Продукты реакции

Гидродинамика

процесса

Массообменный Давление

процесс

Химическая

Управляющие воздействия кинетика

Температура

Теплообменный Процесс Теплота реакции

Рисунок 1.3. Структурная схема реактора.

Исследования, проведенные на аппаратах небольших диаметров порядка 7, 10, 5 и 15,5 см., с использованием лопастной мешалки с числом оборотов до 1200 об/мин., показали, что дисперсия распределения времени пребывания в зависимости от числа Re имеет три области изменения: при Re ≤ 400 величина дисперсии не зависит от Re и равна 0,1; при 400 ≤ Re ≤ 2000 дисперсия зависит от Re в виде

σ²_t= f( Re ) (1.2)

и при Re ≥ 2000 система близка к идеальному смешению /9/.

Под задачами управления понимается разработка эффективных алгоритмов оптимизации технологического режима, адаптивных алгоритмов идентификации находящихся в соответствующей иерархической структуре автоматизированной системы управления технологическим процессом производства полимерных пластиков. Исходной задачей при этом считается задача анализа химического реактора.

Для решения задач анализа и управления необходима исходная математическая модель технологических аппаратов.

Обычно в качестве математического описания представляют системы дифференциальных уравнения высоких порядков в обыкновенных или частных производных. Это дает возможность на основе математической модели достаточно точно рассчитывать характеристики технологических аппаратов, их конструктивные параметры.

Под управлением понимается задача достижения максимальной производительности оборудования, либо сокращения материальных и энергетических ресурсов на производство конечного продукта.

Для решения задач управления необходима мобильная, компактная математическая модель небольшого порядка, на базе которой строятся алгоритмы идентификации и управления промышленными аппаратами. Эти алгоритмы могут быть включены в состав иерархической структуры автоматизированной системы управления технологическими процессами.

Автоматизированные системы управления технологическими процессами полимеризации стирола имеют сложную многоуровневую иерархическую структуру, создание которой требует решения ряда первостепенной важности задач.

Таковыми задачами являются:

1. разработка кинетической модели процесса на основе анализа механизма кинетики, включающей в себя уравнения скорости реакции;

2. описание структуры потоков в основном аппарате химического синтеза – реакторе непрерывного действия с перемешивающим устройством, условий их взаимодействия, исследований теплового режима в реакторе;

3. разработка алгоритмов идентификации промышленных реакторов на данных нормальной эксплуатации объекта;

4. разработка алгоритмов поиска оптимального ведения процесса;

5. разработка алгоритмов адаптивного управления процессом с учетом изменений условий ведения процесса;

6. разработка программного обеспечения автоматизированной системы управления технологическим процессом.

Решение каждой из этих задач требует тщательной проработки больших потоков информации, включающих в себя данные о кинетических, тепловых и гидродинамических особенностях процесса, данные о нормальной эксплуатации объекта в условиях промышленного ведения процесса в каскаде промышленных реакторов непрерывного действия. При этом, чем сложнее математическая модель, тем ниже эффективность алгоритмов идентификации и управления, тем ниже быстродействие системы управления.

Таким образом, если химический реактор рассматривать как объект управления и представлять его математическую модель для целей управления, то, принимая во внимание изложенные ранее принципы системного подхода к моделированию химических реакторов, можно констатировать, что эти принципы полностью совпадают с концепцией построения автоматизированных систем управления технологическими процессами. В этом случае полученная ранее модель кинетики процесса, описывающая скорость реакции полимеризации может быть использована для описания процесса полимеризации в каждом реакторе.

Методы математического моделирования химических реакторов развиты достаточно широко, существует обширная литература по данному вопросу.

Поскольку для поддержания технологического процесса полимеризации необходима достаточно высокая температура порядка 120^оС, то при разработке математической модели процессов полимеризации стирола для целей управления можно не рассматривать уравнения молекулярной массы.

Помимо кинетических закономерностей, другой важной характеристикой процессов, протекающих в химических реакторах, является структура потоков в аппаратах. Оценка структуры потоков в химических реакторах осуществляется с помощью кривых отклика, характеризующих распределение времени пребывания частиц в потоке. Поскольку время пребывания частиц вещества в зоне реакции является случайной величиной в силу разного рода соударений ее с частицами других веществ, стеками аппарата и т.д., то распределение частиц по времени характеризуется функцией распределения.

Выражения для функций распределения по времени пребывания применительно к аппарату любой конструкции могут быть получены тремя способами.

· Первый способ, теоретический, основан на применении уравнений Навье-Стокса с системой граничных условий, которые являются основными уравнениями гидродинамики для описания движения вязкой жидкости /33/. В силу чрезвычайной сложности гидродинамической обстановки в реальных аппаратах этот способ практически неприемлем.

· Второй способ – чисто экспериментальный. Но этот способ имеет много недостатков, т.к. полученные экспериментально и аппроксимированные определенным выражением функции распределения не дают точной оценки потоков в реальных аппаратах, не связаны с какими либо конструктивными или режимными параметрами.

· Третий способ, получивший наибольшее распространение, является наиболее эффективным. При этом способе с использованием модели структуры потоков на базе теоретических основ представления реальной структуры потоков в аппарате получают оценки по параметрам моделей из конструктивных соотношений диаметров аппарата и мешалки, высоты и диаметра аппаратов, величины циркуляционных потоков и т.д.

1.4. Модель химического реактора полимеризации

Рассматривая химический реактор как объект управления, можно представить ее математическую модель в виде уравнений материального и теплового баланса.

С _о

1 Т_верх.

2 Т_меш.

3 Т_низ.

С_вых

Рисунок 1.4. Реактор идеального перемешивания, представленный как трехсекционный аппарат

На основании анализа физико-химических закономерностей процесса блочной полимеризации стирола, с учётом допущения об идеальности перемешивания в аппаратах, уравнения материального баланса рассматриваемого каскада реакторов можно представить в виде:

(1.3)

(1.4)

где: С- степень превращения (конверсия) стирола в реакторе;

T - температура в реакторе;

С_вх., Т_вх.– соответствующие значения конверсии и температуры исходной смеси на входе в реактор;

m – масса реагирующей смеси;

γ – удельная теплоемкость реагирующей смеси;

γ₁, m₁– удельная теплоемкость и масса внутренних конструкций реактора;

К,F – коэффициент теплопередачи и теплопередающая поверхность реактора;

G – весовой расход реагирующей смеси;

Т_ст. – температура стенки реактора;

W(С, Т) – скорость реакции.

В представленном уравнении материального баланса (1.3) в правой части первая составляющая характеризует скорость изменения конверсии стирола за счет химической реакции, т.е. отражает кинетику процесса, вторая составляющая характеризует гидродинамику процесса, т.е. эффект протока.

Скорость реакции полимеризации стирола может быть определена выражением

W(С,Т) = A e^-E/RTF(C) (1.5)

Где: А - предэкспоненциальный множитель;

E – энергия активации;

R - универсальная газовая постоянная;

F(C) – эмпирическая функция конверсии.

1.5. Статические модели реакторов

Рассмотрим задачу разработки математической модели процесса полимеризации стирола. Как было сказано выше, сделаем анализ априорной информации об исследуемом объекте. Предполагаем известной структуру математической модели, которая была получена в результате экспериментального исследования кинетических закономерностей процесса, экспериментального изучения гидродинамических особенностей процесса, структуры потоков в реакторах. Кроме того, на всех предприятиях имеются записи наблюдений об измеренных значениях входных и выходных переменных, которые можно представить как временные ряды. Тогда задача сводится к оценке коэффициентов априорной математической модели, составленной на основании анализа физико-химических закономерностей процесса.

Форма математического описания процесса может быть приведена к форме:

(1.6)

где: А_n – коэффициенты модели;

х_n, у_n - переменные процесса, которые при измеренных значениях конверсии С_nи температуры Т_n рассчитываются в зависимости от конкретного вида полимеризационного процесса по формулам:

; (1.7)

Наблюдения температуры и конверсии рассматриваются как временные ряды.

Как уже было сказано, временной ряд – это множество наблюдений, генерируемых последовательно во времени. Сделаем выборку из множества наблюдаемых данных с интервалом дискретности в один час входных и выходных переменных объекта.

Рассматривая наблюдения за ходом промышленного процесса в условиях его нормальной эксплуатации, можно получить достаточно полную информацию о процессе, параметрах процесса. На основе этой информации можно делать определенные выводы о структуре математической модели.

Анализ временных рядов показывает, что они могут быть стационарными и нестационарными в зависимости от того, находятся ли они в статистическом равновесии, не содержат ли никаких трендов. Тогда как у нестационарных рядов свойства изменяются со временем. Ряды, встречающиеся на практике, принадлежат обычно одному из трех видов: ряды, проявляющие свойства стационарности в течение долгих периодов времени, стационарные в течение короткого времени и ряды, которые являются явно нестационарными в том смысле, что их видимые свойства непрерывно изменяются со временем.

Прежде, чем использовать временные ряды для математической модели необходимо сделать статистический анализ полученных наблюдений. Наиболее эффективным средством анализа следует считать построение оценок статистических характеристик рядов во временной и частотной областях.

Стационарные процессы могут быть оценены с помощью таких моментов распределения вероятностей, как дисперсия, корреляционные функции, спектральные плотности.

Ось абсцисс – номер наблюдения, ось ординат – температура (Т^о). Обозначения кривых: 1, 2 – разные наблюдения.

Рисунок 1.4.

Ось абсцисс – номер наблюдения, ось ординат – конверсия мономера (%). Обозначения кривых: 1, 3 – измерения конверсии в первом реакторе, 2, 4 – измерения конверсии во втором реакторе.

Рисунок 1.5.

Анализ наблюдений за изменениями конверсии в реакторе показывает, что имеется некоторый разброс конверсии, причем наибольшее количество значений приходится на 71-72%. Наглядную информацию об этом дают оценки плотности распределения, что видно из рисунка 1.5. На рисунке представлены оценки плотности распределения конверсии в первом реакторе полимеризации, полученные по наблюдениям в разные периоды работы реактора, что показано кривыми 1-4. Разброс конверсии говорит о наличии случайного фактора, т.е. имеются случайные возмущения, действующие на объект в ходе его работы.

В детерминированной физико-химической модели процесса /23/ не рассматриваются случайные возмущения, действующие на реальный объект. Под влиянием таких неконтролируемых возмущений в аппаратах большой мощности изменяются условия перемешивания, что и способствует тому, что скорость реакции в верхних и нижних слоях массы будет разной и поэтому конверсия стирола в реакторе также имеет разброс.

Ось абсцисс – интервалы изменения конверсии мономера (%), ось ординат – оценка плотность распределения Р(х). Обозначения кривых: 1, 2, 3, 4 – графики различных реализаций.

Рисунок 1.6.

Для более точного описания промышленного процесса полимеризации стирола важен учет неконтролируемых возмущений. Для этого воспользуемся стохастическим методом исследования. Такой метод широко применяется для описания промышленных объектов, подверженных влиянию неконтролируемых возмущений /69-80/.

В соответствии с этим ставится задача разработки по имеющимся реализациям входных и выходных переменных объекта математической модели, позволяющей учесть влияние случайных неконтролируемых возмущений.

При такой постановке задачи часто выбирается чисто эмпирический способ построения моделей с помощью уравнений множественной регрессий. Однако такие уравнения дают удовлетворенные результаты только для узких условий, при которых они получены.

Более точное описание процесса может быть получено при использовании структуры модели, соответствующей физико-химическим закономерностям процесса с включением в нее источника неопределенности (модели шума).

Таким образом, можно представить комбинированную математическую модель, в основе которой лежит детерминированная модель процесса, с включением в нее аддитивной помехи, аккумулирующей все неучтенные факторы, вследствие которых нарушается идеальность перемешивания.

Неучтенные факторы, являющиеся суммарным ненаблюдаемым шумом в объекте ε, согласно предельной теореме подчиняются закону распределения Гаусса и представляют собой некоррелированные между собой и во времени случайные последовательности неконтролируемых возмущений с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (1.13).

При этом в математической модели, описывающей статику процесса и представленной в виде (1.12), при описании каскада реакторов переменные Х, У и параметр А представляются в виде матриц, имеющих вид /80-84/:

; А=

; (1.8)

здесь m – число реакторов в каскаде, n – дискретное время наблюдений.

Элементы матриц рассчитываются из наблюдаемых данных входных и выходных переменных /101,103/.

Рассмотрим первый реактор каскада. Покажем, что нелинейность связи вход-выход рассматриваемой математической модели не приводит к результатам, отличным от реакторов, полученных при линейной модели при отклонениях выходных переменных от среднего значения ∆С = 6-10%, что соответствует режиму нормальной эксплуатации.

Будем считать, что на некотором интервале дискретности рассматриваемый процесс стационарен. Параметром математической подлежащим оценке, является величина предэкспоненциального множителя А₁. Для решения этой задачи разработаем обобщенный метод наименьших квадратов.

Оценка коэффициента модели A₁ первого реактора каскада, полученные на основе реализации длиной N = 148 (с интервалом замера один час) равна

Â₁= 4, 51· 10 12 %/час.

Исходное нелинейное уравнение модели первого реактора до преобразования переменных имеет вид:

C_1i= A₁x_1iF(C_1i) + σ ε₁(1.9)

Где: C₁_i – наблюдаемое значение конверсии стирола (выходная переменная) в i-тый момент времени в первом реакторе;

x₁_i – значение функции температуры, рассчитанное по наблюдаемому значению температуры в первом реакторе в i-тый момент времени.

Пусть Ĉ₁_i – решение нелинейного уравнения (3.30). Варьируя различными значениями A₁ из некоторой допустимой области A₁εA,ищем значения Ĉ₁_i, которые позволят получить минимальное значение среднеквадратичной ошибки:

Δ = (1.10)

Результаты расчета сведены в таблицу 2.1.

Таблица 1.1.

Значения критериев прогноза Δ в зависимости от значений коэффициента

А₁,%/град	4,2.10¹²	4,5.10¹²	4,8.10¹²	5,1.10¹²	5,3.10¹²
Δ	5,12	0,6	6,5	3,3	6,21

Из таблицы видно, что минимальное значение ошибки Δ соответствует значение Â₁=4,5.10¹².

Как указывалось выше, при идентификации коэффициентов модели каскада реакторов предполагается, что величины предэкспоненциальных множителей модели процесса в каждом реакторе могут быть различными

A₁≠A₂≠…≠A_m (1.11)

Это объясняется тем, что в разных реакторах существенно различная конверсия и вязкость полимеризующейся массы и имеет место гель-эффект, влияющий на величину предэкспоненциального множителя.

Из условия

J(Â_j)=minÂ_jx_j[k])² (1.12)

где N – длина реализации;

оценки коэффициентов рассчитываются по формуле:

Â_j = (1.13)

где j – номер реактора, j = 1, m.

Предположение о том, что процесс, протекающий в каждом отдельном аппарате, характеризуется своими локальными параметрами (предэкспоненциальными множителем), дает возможность получить более точные оценки параметра, в этом случае используется вся имеющийся информация о входных и выходных переменных каждого реактора. Это позволяет учесть индивидуальные особенности протекания процесса в каждом аппарате (условия перемешивания, вязкость). Кроме того, при этом многомерная задача поиска минимума функции (1.12) размерностью, равной числу реакторов в каскаде (m), сводится к m одномерным задачам, что несколько облегчает вычисления. Иначе говоря, многомерная задача моделирования каскада реакторов решается как локальная задача для каждого реактора в отдельности.

1.6. Динамические модели реакторов

Исследуемый нами объект, представляющий собой каскад непрерывно действующих реакторов полимеризации подвержен влиянию случайных воздействий. Кроме того, имеют место факторы, глубокое изучение которых путем исследования физико-химических закономерностей явлений сопряжено со значительными трудностями.

К таким факторам можно отнести нарушение или несоблюдение идеальности перемешивания, о чем говорит значительный разброс значений температуры по высоте аппарата, также увеличение вязкости полимеризующейся массы по мере возрастания конверсии и перехода от одного реактора к другому, налипание полимеризующейся массы на поверхность аппаратов, изменение плотности массы за счет образования пузырьков воздуха и т.д.

Все эти факторы рассматриваются как шум в объекте, вызывающий отклонение реального промышленного процесса от усредненного идеализированного состояния, описываемого детерминированной моделью. Поскольку процесс полимеризации непрерывный в рассматриваемом нами производстве, все случайные воздействия в объекте имеют плавный характер изменения во времени, их значения в последующий момент времени зависят от значения в предыдущий момент. Динамическая модель процесса описывается уравнением, которое в авторегрессионной форме записывается /81, 105/:

(1.14)

Здесь n – дискретное время.

Стохастическая модель процесса может быть получена следующим образом.

Умножим выражение (2.14) на у_n_-_k и получим:

(1.15)

где λ - неизвестные коэффициенты модели, подлежащие оценке.

Переходя к математическим ожиданиям величин в выражении (1.15), получим уравнения автокорреляций:

(1.16)

Оценка неизвестных коэффициентов модели осуществляется из условия минимизации ординат взаимнокорреляционной функции между белым шумом ε_nи наблюдаемыми переменными.

Для получения оценок неизвестных коэффициентов модели необходимо иметь оценки авто – и взаимнокорреляционных функций входных и выходных переменных X и Y по измеренным данным.

Ось абсцисс – сдвиг по времени τ, ось ординат – взаимнокорреляционная функция Rxy(τ).

Рисунок 1.7.

Рассмотрим первый реактор каскада реакторов полимеризации.

На объекте были записаны соответствующие реализации значения температуры и конверсии. Эти значения были преобразованы в переменные X и Y. Оценки корреляционных функций рассчитываются по формулам:

R_xy[k]=

R_xx[k]= (1.17)

R_YY[k]=

где оценка среднего значения выходной переменной.

Необходимо проверить, являются ли рассчитанные оценки функции инвариантными по отношению к сдвигу начала отсчета времени.

Для этого были рассчитаны оценки авто- и взаимокорреляционных функций при разных реализациях, их графики приведены на рисунке 2.7. Из рисунка видно, что кривые R_YY[k], R_xy[k] при разной длине N достаточно схожи по форме.

Литература:

1. Дудников Е. Г., Балакирев В.С., Кривсунов В.Н., Цирлин А.М. Построение математических моделей химико-технологических процессов. – Л.: Химия, 1970. – 45с.

2. Кафаров В.В. Методы химии и химической технологии. - М.: Химия, 1976. - 448с.

3. Кафаров В.В. и др. Системный анализ процессов химической технологии. Процессы полимеризации. – М.: Наука, 1991. – 105с.

4. Левеншпиль О., Инженерное оформление химических процессов пер. с англ., М., 1969.

5. Холанд Ф., Чапман Ф. Химические реакторы и смесители для жидкофазных процессов. - М.: Химия, 1974. - 365с.

6. Крамерс Х., Вестертерп К. Химические реакторы, расчет и управление ими. - М.: Химия, 1967. - С.80-83, 207с.

7. Закгейм А.Ю. Введение в моделирование химико-технологических процессов. - М.: Химия, 1973. - 40с.

8. Безденежных А.А. Математические модели химических реакторов. – Киев: Техника, 1970. - 380с.

9. Дидушинский Я., Основы проектирования каталитических реакторов, пер. с польск., М., 1972.

10. Общая химическая технология, ч. 1. Теоретические основы химической технологии, 4 изд., М., 1984, с. 77-119.

11. Островский Г.М. О новых проблемах в теории гибкости и оптимизации химико-технологических процессов при наличии неопределенности. //Теоретические основы химической технологии. – 1999. - т.33, №5. – С.578-590.

12. Кутепов А. М., Бондарева Т. И., Беренгартен М. Г., Общая химическая технология, 2 изд., ч. 1, М., 1990, с. 63-169.

13. Расчет химико-технологических процессов, под ред. И. П. Мухленова, Л., 1976;

14. Иоффе И.И., Письмен Л.М. Инженерная химия гетерогенного катализа. – Л.: Химия, 1972. - 278с.

15. Смирнов Н.Н., Волжинский А.И. Химические реакторы в примерах и задачах. – Л.: Химия, 1977. - 295с.

16. Бесков В.С. Методы математического моделирования и использование ЭВМ в общеинженерных курсах по химической технологии. /Сб. научных трудов, Российский химико-технологический университет. – М., 2000. - Вып. 178. – С.150-156.

17. Оспанова А. Математическое моделирование процессов производства полистирольных пластиков в реакторах смешения. – Алматы. 2001. – 109c.