Қарағанды мeмлeкeттік унивeрcитeтінің аға оқытушысы, ж.ғ.м. К.Е.Кeрвeнeв; МжАТ факультетінің 3 курс студенті Хұрлыс А.

Академик Е.А.Букетов атындағыҚарағанды мeмлeкeттік унивeрcитeті, Қазақcтан

Прогрессияға қатысты тарихи деректердің маңызы

Ежелгі замандардан бастап адамзат арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың заңдылықтарын қолдана білген. Мәселен, Біздің заманымызға дейінгі ежелгі вавилондықтардың сына жазу (клинопись) кестелерінде, ежелгі мысырлық және гректердің папирустарында арифметикалық және геометриялық прегрессияларға көптеген мысалдар кездеседі. Ежелгі грек ғалымдары прогрессиялардың кейбір қасиеттерін және олардың қосындысын таба білген. Архимед(б.з.б.3ғ) фигуралардың аудандары мен денелердің көлемдерін есептеуде сан тізбегінің бірнеше мүшелерінің қосындысын таба білген. Ежелгі заманнан геометриялық прогрессия мүшелерінің еселігі 1-ден үлкен болғанда (q>1) өте жылдам қарқынмен өсетіндігі жөнінде мынадай аңыз сақталған. Мәселен, ежелгі үнді патшасы Шерам шахмат ойынынын ойлап тапқан өнертапқышты (оның аты Сета) марапаттау мақсатында оған қалағанын алуды ұсынады. Сонда Сета шахмат тақтасындасындағы 64 шаршының біріншісіне -1 дән, екіншісіне -2 дән, үшіншісіне – 4 дән, төртіншісіне – 8 дән және т,с,с., яғни әрбір шаршыға алдыңғысынан 2 есе көп дән беруді өтінеді. Алғашында патша өнертапқыштың бұл «тым болмашы» тілегіне таң қалып, оны орындауға бұйрық бергенімен, артынша бұл тілектің орындауға өз қазынасының қауқарсыз екеніне көзі жетеді. Шынында да, өнертапқыш сұраған дәндер саны 1+2+22... 263 қосындысына тең, ал бұл қосынды 18 446 744 073 709 551 615 санына тең. Егер бір пұт астықта 40000 дән бар десек, онда бұл тілекті орындау үшін 230 584 300 921 369 пұт астық қажет екен. Қазақстанда бір жылда жиналған астық мөлшері орта есеппен 1 000 000 000 пұтқа тең десек, онда бұл тілекті орындау үшін еліміз ішпей-жемей 230 584 жыл еңбек етуі қажет[1].

Жалпы, арифметикалық прогрессия атауы сандардың арифметикалық ортасы (формуласы) ұғымынан ауысқан, ал геометриялық прогрессия атауы кесінділерінің геометриялық пропорционалдығынан (формуласы) ауысқан.

Арифметикалық прогрессия мүшелері қосындысының формуласын грек оқымыстысы Диофант (3ғ) дәлелдеген. Геометриялық прогрессия мүшелерінің қосындысының формуласы Евклидтің «Бастамаларында» (б.з.б. 3ғ) кездеседі. Прогрессия қатысты бірқатар деректер итальян метематигі Л. Фибоначчидің «Абак кітабында» (1202) кездеседі.Ал шексіз кемімелі геометриялық прогрессия мүшелерінің қосындысын анықтау формулаларын француз математигі Никола Шюкеннің «Үш бөлікттен тұратын сандар туралы ғылым» (1484) атты еңбегінде берілген.

Прогрессияға қатысты алғашқы деректер бізге Ежелгі Грек құжаттарынан келді. Біздің эрамызға дейінгі V ғ. Ежелгі Египеттте прогрессиялар мен олардың қосындысын білген:

1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1). Прогрессияға қатысты кейбір формулалар қытай және үнді ғалымдарынан (V ғ.) белгілі.

Жекеленген арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың мысалдарын төрт мыңжылдықтар және одан да көп жылдарға жеткен ертевавилондық және грек жазбаларынан көруге болады [2]. Ежелгі Грецияда б.э.дейін бес жүзжылдықтар бұрын келесі қосындылар белгілі болған:

1+2+3+…+n=½n(n+1);

1+3+5+…+(2n-1)=n²;

2+4+6+…+2n=n(n+1).

Біздің эрамызға дейінгі екінші мыңжылдыққа жататын Вавилондықтардың клинопис кестелерінде, египеттіктердің папирустарындағыдай, арифметикалық және гоаметриялық прогрессиялар кездеседі. Египедтік папирус Ахместегі мысалда: «Саған айтылды делік: 10 өлшем арпаны 10 адам арасында бөл, әр адам мен оның көршісі арасындағы айырма өлшемге тең» [3]. Архимед еңбектерінде (б.э.дейін 287-212 ж,ж. шамасында) прогрессиялар жөнінде алғашқы мәліметтер бар.

Пифагор (б.э.дейін IV ғ.) және оның оқушылары геометриялық фигураларға қатысты тізбектерді қарастырған.

Леонард Пизанский (Фибоначчи) тізбектер мәселесімен айналысты. Фибоначчи құрастырған баршаға әйгілі есебі "Қояндардың көбеюі туралы есеп", келесі түрдегі 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., тізбектің, кейіннен "Фибоначчи қатары" ашылуына әкелді.

Архимедтің еңбектерінде (б.э.д. 287-212жж) прогрессиялар жөніндегі алғашқы мәліметтер жарияланған.

Архимед дөңгелектің ауданын қалай есептеген…

Алғашында Архимед дөңгелекке алтыбұрышты іштей сызды, сосын әр қабырғасына теңбүйірлі үшбұрыштарды салды – онекібұрыш пайда болды.

Біртіндеп қабырғаларды екі еселей отырып, Архимед 24 - бұрышты, 48 - бұрышты, ақыр соңында 96 - бұрышты алды. Салынған көпбұрыштар біртіндеп дөңгелектің ауданын жапты. Бұл әдіс Архимед өлген соң 2200 жылдан кейін заманауи геоиетрия оқулығының беттерінен көрінді.

Архимед өз зерттеулерінің барысында, еселігі ¼ болатын шектеусіз геометриялық прогрессияның қосындысын тапты, бұл математикадағы шектеусіз тізбектің алғашқы мысалы еді.

Кейбір геометриялық және механикалық есептерді шешуде, Архимед натурал сандардың квадраттарының қосындысының формуласын қорытып шығарды алайда бұл формула оған дейін белгілі еді:

Прогрессиялар арасындағы байланысқа бірінші болып, ұлы Архимед назар аударды. Архимедтің ойлары, 1544 жылы неміс математигі Михаил Штифелдің «Жалпы арифметика» деген кітабы жарыққа шыққанда белгілі болды. Ол төмендегідей таблица құрды:

-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
1/16	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8	16	32	64	128

Жоғарғы жолда айырмасы 1ге тең арифметикалық прогрессия, төменгі жолда еселігі 2ге тең геометриялық прогрессия орналасқан.

Егер aⁿ·a^m=a^m+n және a^m:aⁿ=a^m-n тепе теңдіктерін ескерсек Штифелдің төменгі жолын былай жазуға болады:

1/16	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8	16	32	64	128
2^-4	2^-3	2^-2	2^-1	2^0	2^1	2^2	2^3	2^4	2^5	2^6	2^7

Сонымен, прогрессиялардың тарихи деректері тереңнен орын алатынын анықтадық. Бізге дейін жеткен прогрессиялар шаруашылық сұраныстарына байланысты туындағанына көз жеткіздік. Арифметикалық және геометриялық прогресияларға қатысты есептер математика оқулықтарының көпшілігенде кездесетіні белгілі. Сондықтан осы мәселеге қатысты тарихи деректерді білу тақырыпты терең меңгеруде маңызы зор.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

1. Құрмет Қабдықайыр. Жоғары математика. Алматы. «Қазақ университеті» 2006. 247-263б.

2. Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений/ Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е.-М.: Мнеозина, 2008, -447с.

3. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В.Кузнецова, С.С.Минаева; под ред. Г.В.Дорофеева.-М.: Дрофа, 2000,-352с.