Е.А. Касымов

Казахский национальный технический университет им.К.И.Сатпаева. г.Алматы.

Республика Казахстан

НОВОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ

.

     Известно, что для приближенного вычисления определенного интеграла

                                                                      (1)

используется интерполяционный многочлен Лагранжа и неизвестные коэф-фициенты определяются с помощью определенного интеграла, а в этой работе предлагается новый способ определения неизвестных коэффициентов и оценка остаточного члена квадратурной формулы Ньютона-Котеса.

     Пусть узлы интерполирования расположены так: ,   и точка  совпадает с точкой , тогда предполагаем, что  В этом случае узлы интерполирования не содержат точек  и , а промежуток интегриро-вания разбивается этими узлами на  равных частей. При этом численного интегрирования, которые получатся в этом случае, будем называть квадратур-ной формулой Ньютона-Котеса открытого типа.

     Предположим, что подынтегральная функция  на отрезка  имеет непрерывные производные девятого порядка включительно.

     Определенный интеграл (1) будем искать в виде формулы:

                                                                         (2)

где -узлы интерполирования, извес-тные значения функции  в узлах -неизвестные коэффициенты, подлежащие определению, -остаток квадратурной форму-лы (2), причем узлы и неизвестные коэффициенты не зависит от выбора под-ынтегральной функции из рассматриваемого класса функций.

     Для определения неизвестных коэффициентов   и оценить остаток  квадратурной формулы (2), введем новую функцию  по формуле:   

              

                                   (3)

     Разложим функцию  в ряд Маклорена в точке  :

                                     (4)

где  

     Из (3) найдем производные относительно :

 

                                             

    (5)

          

     Теперь определим неизвестные коэффициенты  так, чтобы при  имели место равенства . Тогда из (5) будем иметь сис-тему линейных неоднородных алгебраических уравнений с определителем Вандермонда относительно неизвестных коэффициентов :

Отсюда

                             (6)

т.е. действительные коэффициенты  квадратурной формулы (2) равноот-стоящие от концов отрезка  равны между собой, причем сумма  этих коэф-фициентов равна единице:

     Таким образом, формула (3) с учетом (4), (6) и  имеет вид:

                  (7) где

     Если сопоставить формулу (2) с формулой (7), то получим: 

.                                              (8)

Рассмотрим  при , а   при  .  Из (5) при  имеем:

     

                                                                (9)

     

             

а при          

Тогда из (8) и (9) имеем:

                                                                       (10)

     Следовательно, квадратурная формула (7) в силу (9) и (10) окончательно имеет вид:

          

            (11)

а остаточный член :

                                                                   (12)

     Формула (11) с остаточным членом (12) называется квадратурной формулой Ньютона-Котеса открытого типа.

     Если квадратурную формулу (11) не сразу применить по всему отрезку , а разбить его на  равных частей длины  с узлами  и к каждой  - частичной части в отдельности применить формулу (11), то погрешность квадратурной формулы (11) можно значительно снизить. Для это-го интеграла (1) запишем в виде:   

 .                (13)

     Теперь применяем к каждому интегралу (13) формулу (11), тогда получим:

        

           

                            

  

                 

            

      

                                                  (14)

где                      (15)                      

     Формула (14) с остаточным членом (15) называется обобщенной квадра-турной формулой Ньютона-Котеса открытого типа.

 

      Литература

     1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1.,-М.; Наука, 1966, -632с.

2.     Касымов К.А., Касымов Е.А. Квадратурная формула Ньютона-Котеса //Доклады НАН РК. 2005. №1. С.47-51.