Математика/ 5. Математичне моделювання

Готинчан І.З.

Чернівецький факультет національного технічного університету

“Харківський політехнічний інститут”

МОДЕЛЮВАННЯ НЕСТАЦІОНАРНИХ ТЕМПЕРАТУРНИХ ПОЛІВ В НЕОДНОРІДНИХ СЕРЕДОВИЩАХ З М’ЯКИМИ МЕЖАМИ МЕТОДОМ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЛЕЖАНДРА - ФУР’Є-ФУР’Є НА СЕГМЕНТІ ПОЛЯРНОЇ ВІСІ

Постановка проблеми та її аналіз. В класичній теорії теплопровідності на межі області має місце або тепловий режим або тепловий потік або теплообмін через поверхню за законом Ньютона. Якщо межу області (тіла) позначити через , то, не конкретизуючи фізико-технічні характеристики, маємо крайову умову [1,2]: де точка , - зовнішня нормаль.

Це відображає реально процес поширення теплоти у випадку, коли межа тіла є жорсткою по відношенню до відбиття теплових хвиль. Якщо ж межа тіла є м’якою по відношенню до відбиття теплових хвиль, то математично це відображає наявність в крайовій умові диференціального оператора :

Підтвердження цього знаходимо в узагальненій теорії теплопровідності, яка лежить в основі побудови узагальненої термомеханіки [3]. Це особливо стає відчутно, коли ми розглядаємо неоднорідні (кусково-однорідні) середовища. Дана робота присвячена одному із варіантів цієї проблеми.

Основна частина. Розглянемо задачу про побудову обмеженого в області розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності параболічного типу [4]

(1)

за нульовими початковими умовами, крайовими умовами

(2)

та умовами спряження

(3)

У рівностях (2), (3) беруть участь диференціальні оператори

Ми припускаємо, що: 1) функції , та вектор-функція є оригіналами за Лапласом стосовно [5]; 2) виконані умови на коефіцієнти: 3) - диференціальний оператор Лежандра [6]:

,

У зображенні за Лапласом задачі (1) - (3) відповідає крайова задача: побудувати на множині розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь Фур’є та Лежандра для модифікованих функцій

(4)

за крайовими умовами

(5)

і умовами спряження

(6)

У рівностях (4)–(6) прийняті позначення:

Фундаментальну систему розв’язків для рівняння Лежандра утворюють узагальнені модифіковані приєднані функції Лежандра та [6], а фундаментальну систему розв’язків для рівняння Фур’є утворюють функції та [7].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової задачі (4) – (6) методом функцій Коші [7, 8]:

(7)

У рівності (7) беруть участь породжені крайовою умовою в точці функції Гріна

(8)

і породжені неоднорідністю системи (4) функції впливу

(9)

Всі інші функції у рівностях (8), (9) загальноприйнятті [6,8].

Повертаючись у формулах (7) до оригіналу, одержуємо єдиний розв’язок параболічної задачі (1) – (3):

(10)

У рівностях (10) беруть участь функції Гріна

та функції впливу

- власні числа, а власні вектор-функції гібридного диференціаль-ного оператора 2–го порядку

При цьому - квадрат узагальненої норми власної вектор-функції [9].

Висновки. Вектор-функція , де функції визначені формулами (10) описує структуру нестаціонарного температурного поля, яке виникає в неоднорідному середовищі при моделюванні оператором . Вибором параметрів, які беруть участь у формулюванні задачі теплопровідності (1) - (3), можна із загальних структур виділити безпосередньо будь-який частковий практично потрібний випадок (в рамках даної моделі). Інтегральне зображення (10) розв’язку даної задачі теплопровідності має алгоритмічний характер. Це дає можливість використовувати його успішно як в теоретичних дослідженнях, так і в інженерних розрахунках.

Література

1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1967. – 600 с.

2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. – М.: Наука, 1964. – 487с.

3. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. – Киев: Наукова думка, 1976. – 310 с.

4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. - 735 с.

5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.

6. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина І. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368 с.

7. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.– М.: Физматгиз,1959. – 468 с.

8. Ленюк М.П. Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів методом скінчених гібридних інтегральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том ІV. – Чернівці: Прут, 2005.- 360 с.

9. Ленюк М.П., Петрик М.Р. Інтегральні перетворення Фур’є, Бесселя із спектральним параметром в задачах математичного моделювання масопереносу в неоднорідних середовищах. – Київ: Наукова думка, 2000. – 371 с.