С. А. Бантюкова ассистент УкрГАЖТ, г.Харьков

Секция: «Технические науки» 4. Транспорт

Исследование вопросов безопасности функционирования сортировочной горки на примере построения

математической модели

Рассматриваются вопросы построения математической модели безопасности функционирования сортировочной горки используя математический аппарат моделирования операций по схеме Марковских случайных процессов. Показывается возможность применения данного метода для оценки эффективности работы рассматриваемой системы.

Транспортные системы – динамический комплекс многолинейных и многофазных смешанных систем. Функционирование их характеризуется значительными колебаниями, существующими сложными вероятностными обратными связями и зависимостями между различными элементами. Поэтому решение практических задач только аналитическими методами часто сопряжено с большими трудностями. Изучать процессы функционирования систем следует методом математического моделирования, который является наиболее распространенным в исследовании разнообразных явлений.

Математические модели можно грубо подразделить на два класса: аналитические и статистические. Для первых характерны аналитические зависимости между параметрами задачи. Однако с помощью аналитических моделей удается с удовлетворительной точностью описать только сравнительно простые процессы, где число взаимодействующих элементов не слишком велико. Для описания сложных транспортных процессов с большим числом факторов, в том числе и случайных, на первый план выходят вероятностные методы математического моделирования операций. Преимущество таких методов состоит в том, что они позволяют учесть большее число факторов и не требуют грубых упрощений и допущений.

Математическую модель безопасности функционирования сортировочной горки построим опираясь на математический аппарат моделирования операций по схеме марковских случайных процессов. Для того, чтобы вычислить числовые параметры, характеризующие эффективность таких операций, нужно построить некоторую вероятностную модель системы, учитывающую сопровождающие ее случайные факторы.

Пусть имеется некоторая физическая система S – сортировочная горка, состояние которой меняется с течением времени. Состояние системы меняется во времени случайным, заранее непредсказуемым образом, т.е. в системе протекает случайный процесс. В нашем случае случайный процесс является процессом с дискретными состояниями, т.к. возможны состояния системы S₁, S₂, S₃, …, S₁₆, которые можно перечислить одно за другим, а сам процесс состоит в том, что время от времени система скачком переходит из одного состояния в другое.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями пользуются так называемым размеченным графом состояний и дифференциальными уравнениями Колмогорова.

Сортировочная горка – система «человек – техника – среда – возмущение», состоит их четырех элементов, каждый из которых или несколько сразу в случайный момент времени могут выйти из строя, т.е. изменить свое состояние таким образом, что окажут влияние на безопасность движения. После выхода элемента или элементов из строя следуют управляющие воздействия, приводящие элемент или элементы в исправное состояние.

Возможные состояния системы:

S₁ – все элементы системы «человек – техника – среда – возмущение» - человек – 1, техника – 2, среда – 3, возмущение – 4, функционируют исправно;

S₂ – элемент 1 системы функционирует неисправно, элементы 2, 3, 4 - функционируют исправно;

S₃ – элемент 2 системы функционирует неисправно, элементы 1, 3, 4 - функционируют исправно;

S₄ – элемент 3 системы функционирует неисправно, элементы 1, 2, 4 - функционируют исправно;

S₅ – элемент 4 системы функционирует неисправно, элементы 1, 2, 3 - функционируют исправно;

S₆ – элементы 1, 2 системы функционирует неисправно, элементы 3, 4 - функционируют исправно;

S₇ – элементы 1, 3 системы функционирует неисправно, элементы 2, 4 - функционируют исправно;

S₈ – элементы 1, 4 системы функционирует неисправно, элементы 2, 3 - функционируют исправно;

S₉ – элементы 2, 3 системы функционируют неисправно, элементы 1, 4 - функционируют исправно;

S₁₀ – элементы 2, 4 системы функционируют неисправно, элементы 1, 3 - функционируют исправно;

S₁₁ – элементы 3, 4 системы функционируют неисправно, элементы 1, 2 - функционируют исправно;

S₁₂ – элементы 2, 3, 4 системы функционируют неисправно, элемент 1 - функционирует исправно;

S₁₃ – элементы 1, 3, 4 системы функционируют неисправно, элемент 2 - функционирует исправно;

S₁₄ – элементы 1, 2, 4 системы функционируют неисправно, элемент 3 - функционирует исправно;

S₁₅ – элементы 1, 2, 3 системы функционируют неисправно, элемент 3 - функционирует исправно;

S₁₆ – все элементы системы 1, 2, 3, 4 функционируют неисправно.

Переход системы из состояния S_i в состояние S_j может происходить в любой момент времени под воздействием интенсивности потока событий λ_ij, переводящей систему из состояния S_i в состояние S_j.. Размеченный граф состояний представлен на рисунке 1.

Рис. 1. Размеченный граф состояний системы «сортировочная горка»

Имея размеченный граф состояний можно определить вероятности состояний p₁(t), p₂(t), …, p₁₆(t). Эти вероятности удовлетворяют дифференциальным уравнениям Колмогорова. Решив эти уравнения, получим вероятности p₁(t), p₂(t), …, p₁₆(t).

;

;

;

.

.

.

Если начальное состояние системы S₁, то в начальный момент (t=0) р₁(0)=1, а остальные вероятности равны 0.

р₁(0)=1, р₂(0) = р₃(0) = р₄(0) = … = р₁₆(0)=0.

В теории вероятности доказано, что если число n состояний системы конечно и из каждого из них можно перейти в любое другое, то существуют финальные вероятности.

Обозначим финальные вероятности теми же буквами, что и сами вероятности р₁, р_2, …, р₁₆, подразумевая под ними не переменные величины, а постоянные числа.

Если вероятности р₁, р_2, …, р₁₆ постоянны, то их производные равны 0. Перенеся отрицательный член каждого уравнения из правой части в левую, получаем систему линейных алгебраических уравнений:

;

;

;

.

.

.

.

Воспользуемся нормировочным условием р₁ + р₂ +…+ р₁₆ =1. При этом одно (любое) уравнение можно отбросить. Зададимся всеми значениями λ, полученными с помощью компьютерной программы, генерирующей случайные числа подчиненные нормальному закону распределения с заданными математическим ожиданием m и средним квадратическим отклонением s.

Для решения полученной системы линейных алгебраических уравнений воспользуемся известными численными методами, например методом Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. В результате получим финальные вероятности р₁, р_2, …, р₁₆ , которые дают возможность оценить эффективность работы рассматриваемой системы. Предположим, что в состоянии S₁ эффективность работы системы составляет r₁ условных единиц, в состоянии S₂ – r₂ условных единиц, в состоянии S₃ – r₃ условных единиц, …, в состоянии S₁₆ – r₁₆ условных единиц, тогда в стационарном режиме средняя эффективность работы системы в единицу времени будет

SR = р₁ r₁ + р₂ r₂+ р₃ r₃+ …+ р₁₆ r₁₆.

Таким образом, возможно проведение оптимизации работы рассматриваемой системы под разными углами зрения.

Список литературы

1. Шалягин Д.В. Многоуровневые и многофункциональные системы управления и обеспечения безопасности движения поездов // Железнодорожный транспорт.- 2006.- №3.

2. Моделирование движения поезда в аварийных ситуациях / Е.П. Блохин, С.В. Пшинько, С.В. Мямлин, и др. // Залізничний транспорт України.- 2005.- № 2.- С. 16-18

3. Вентцель Е.С. Исследование операций. М., «Советское радио», 1972, 552 стр.

4. Статистика железнодорожного транспорта: Учебник для вузов / Т.И.Козлов, А.А.Поликарпов, Е.П.Лионова и др.; Под ред. Т.И.Козлова, А.А.Поликарпова. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Транспорт, 1990. - 327 с.

5. Статистические методы в инженерных исследованиях (лабораторный практикум): Учеб.пособие / Бородюк В.П., Вощинин А.П., Иванов А.З. и др.; Под ред. Г.К.Круга. - М.: Высш. школа, 1983. – 216 с., ил.

6. Статистика и управление случайными процессами.-М.: Наука, 1989.-232с.

Сведения об авторе

Светлана Александровна Бантюкова

г. Харьков, ул. Спартака д.12, кв.3

контактный телефон 731-91-77

адрес электронной почты: e-mail: mega@vlink.kharkov.ua