Экономические науки/8 математические методы в экономике

Дмитренко И.С.

Донбасская государственная машиностроительная академия, Украина

Применение методов динамического программирования на примере задачи об аренде автомобилей

Методы динамического программирования исследования операций, являясь мощным математическим аппаратом решения экономических проблем, помогают решать самые разнообразные задачи экономики, менеджмента и маркетинга. Данная работа продолжает исследование, начатое в [2] и решает задачу менеджмента, относящуюся к задачам календарного планирования, об аренде автомобилей, предложенной в [1], стр. 457.

Туристическое агентство организовывает недельные поездки в Египет. В соответствии с договором на ближайшие четыре недели агентство должно обеспечить туристические группы арендными автомобилями в количестве семь, четыре, семь и восемь штук соответственно. Агентство заключает договор с местным дилером по прокату автомобилей. Дилер назначает арендную плату за один автомобиль 220 долларов в неделю плюс 500 долларов за любую арендную сделку. Агентство, однако, может не возвращать арендованные автомобили в конце недели, и в этом случае оно должно будет только арендную плату в 220 долларов. Каково оптимальное решение проблемы, связанной с арендой автомобилей?

Решение

Составим реккурентные уравнения Беллмана для метода обратной прогонки динамического программирования.

Обозначим b₁=7, b₂=4, b₃=7, b₄=8, тогда

f_i(x_i-1)=min{C₁x_i+C₂(x_i-x_i-1)+f_i+1(x_i)}, i=1,2,3,4 - реккурентное уравнение, где x_i- количество арендованных на протяжении i-ой недели автомобилей.

x₀={0}, x₁={7,8}, x₂={4,5,6,7,8}, x₃={7,8}, x₄={8}

C₁x_i=22x_i, если x_i>x_i-1 -арендная плата на протяжении i-ой недели за x_i автомобилей.

C₁x_i=22x_i-1, если

C₂(x_i-x_i-1)=(50+22)(x_i-x_i-1)=72(x_i-x_i-1), если x_i>x_i-1 – плата за аренду x_i-x_i-1 дополнительных авто + 50 у.е. за арендный договор за каждое дополнительное авто.

C₂(x_i-x_i-1)=0, если

Этап 4. i=4, b₄=8, f₅(x₄)=0

X3	22x3+72(x4-x3)+f5(x4)	оптимум
	X4=8	F4(x3)	X4^*
7	22*7+72*(8-7)+0=226	226	7
8	22*8+0+0=176	176	8

Этап3. i=3, b₃=7

X2	22x2+72(x3-x2)+f4(x3)		оптимум
	X3=7	X3=8	F3(x2)	X3^*
4	22*4+72*3+226=530	22*4+72*4+176=552	530	7
5	22*5+72*2+226=480	22*5+72*3+176=502	480	7
6	22*6+72*1+226=430	22*6+72*2+176=452	430	7
7	22*7+0+226=380	22*7+72*1+176=402	380	7
8	22*8+0+226=402	22*8+0+176=352	352	8

Этап2. i=2, b₂=4

X1	22x1+72(x2-x1)+f3(x2)					оптимум
	X2=4	X2=5	X2=6	X2=7	X2=8	F2(x1)	X2^*
7	22*4+0 +530=618	22*5+0 +480=590	22*6+0 +430=562	22*7+0 +380=534	22*8+0 +352=352	352	8
8	22*4+0 +530=618	22*5+0 +480=590	22*6+0 +430=562	22*7+0 +380=534	22*8+0 +352=352	352	8

Этап1. i=1, b₁=7

X0	22x0+72(x1-x0)+f2(x1)		оптимум
	X1=7	X1=8	F1(x0)	X1^*
0	0+72*7+352=856	0+72*8+352=928	856	7

Оптимальная стратегия по найму автомобилей туристической фирмой состоит в следующем: нанять в первую неделю 7 авто, еще одно на второй неделе. Минимальные затраты по аренде составят 8560 долларов за четыре недели.

Литература

1. Таха, Хэмди А. Введение в исследование операций. -М.:Изд.дом «Вильямс», 2001 с. 441-458.

2. Дмитренко И.С. Применение методов динамического программирования на примере задачи календарного планирования трудовых ресурсов. Материали за 7-а международна практична конференция, “Achievement of high school”, 17-25 November, 2011, Том 8, Икономики., София, «Бял-ГРАД-БГ» ООД, 2011, с.3-6