Байджанов А.Р. , О.Г.Максимова

Череповецкий государственный университет

 

Компьютерное моделирование поведения проводимости сегнетоэлектрика.

 

         Введение.   Технический прогресс в области вычислительной техники стимулировал развитие множества численных алгоритмов для различных задач с использованием компьютеров. В итоге компьютерное моделирование, наряду с традиционными теоретическими (аналитическими) подходами, а также экспериментальными методами, превратилось в мощное средство изучения свойств различных молекулярных систем и объектов. Сегнетоэлектрики, жидкие кристаллы, полимерные вещества становятся все более важными для применения в современной промышленности. При учете молекулярного строения таких систем можно ожидать, что явления, происходящих в них, описываются весьма похожими методами, поэтому становится очень актуальным вопрос о более глубоком изучении строения и свойств этих веществ на уровне наноструктур (10-9 м).

         Цель и задачи.  Ключ для выяснения природы большинства макроскопических природных явлений лежит именно в знании закономерностей процессов, происходящих на атомно-молекулярном уровне. Целью данной работы является создание компьютерной программы  для симуляции полной картины  поляризации сегнетоэлектрической системы и движения в ней заряженных частиц с учетом всех особенностей протекания этих явлений. Были поставлены следующие задачи:

1)  Рассчитать конфигурацию положения диполей в сегнетоэлектрике в зависимости от температуры, внутреннего строения (констант потенциала межмолекулярного взаимодействия), внешнего  электромагнитного поля.

2)  Изучить движение заряженных частиц внутри рассчитанной молекулярной системы.

3)  Получить зависимости проводимости  от внешних и внутренних характеристик.

  Метод решения.   В качестве модели сегнетоэлектрика принималась трехмерная решеточная модель, в каждой узле которой находится анизотропная удлиненная частица (молекула) - диполь, обладающий только вращательными степенями свободы [3]. Расчеты проводились в трехмерной системе,  вращение диполя вокруг его собственной оси вращения не рассматривалось,  поэтому положение диполя характеризуется двумя сферическими  углами – нутации  и прецессии . В разработанной компьютерной программе конфигурация системы описывалась двумя трухмерными массивами.

    Конфигурация системы вычислялась с помощью динамического метода Монте-Карло (алгоритм Метрополиса). На каждом шаге Монте - Карло случайным образом выбирался диполь. Просчитывалась энергия его взаимодействия с шестью ближайшими соседями и внешним электрическим полем.  Далее диполь вращался случайным образом, и снова вычислялась энергия взаимодействия. По значениям начальной и конечной энергии определялось, применить ли последнюю конфигурацию. Новая конфигурация принималась в том случае, если ее энергия меньше первоначальной или вероятность перехода в новое состояние меньше случайного числа, выбранного в промежутке (0; 1). Вероятность перехода определяется с помощью формулы:

где W – вероятность перехода диполя в новое состояние,  - разность значений энергии, Т – температура, kB – постоянная Больцмана. Зависимость шагов Монте-Карло обратно пропорционатьно скорости нагревания или охлаждения системы.

Рис.1. Потенциальная энергия взаимодействия электрона и диполя

       Далее рассматривается движение электронов, которое также рассчитывается методом Монте-Карло. Потенциал взаимодействия между электроном и диполем определяется по формуле [1]:

 

где e - заряд электрона, u - модуль дипольного момента, величины r и изображены на рис. 1.  

    При моделировании предполагалось, что электрон располагается в центре ячейки. Учитывались энергии взаимодействия электрона с внешним электрическим полем и ближайшими восемью диполями сегнетоэлектрика, а также взаимодействия диполей между собой. Координаты электронов задавались так же случайным образом. Движение электрона основывалось на проверке выгодности его положения в каждом из шести соседних мест: в программе просчитывается энергия нахождения электрона во всех соседних ячейках при варьировании его положения. Затем из массива полученных значений энергии выбирается наивыгоднейшее положение и запускается процедура определения вероятности перехода.  Начальная и конечная энергия сравниваются, и на основе этого выясняется, происходит или нет переход электрона в соседнюю ячейку.

Рис. 2. Графическая визуализация движения электронов в сегнетоэлектрической системе

Следующий этап – проверка,  достиг электрон границы или нет. Если  ответ положительный, то массив достигших границу увеличивается на единицу, а  координаты электрона снова выбираются случайным образом.

     Проводимость вычислялась как величина, пропорциональная количеству заряженных частиц, прошедших  через заданную  систему диполей за определенное время.

На рис.2. изображена графическая визуализация  конфигурации  сегнетоэлектрика и движения электронов при температуре ниже точки с фазового перехода (ориентация диполей имеет преимущественную ориентацию).

Результаты расчета. На рис.3 приведены зависимости количество электронов, достигших левую границу сегнетоэлектрической системы от величины , где K – энергетическая константа взаимодействия между диполями. Так как  число электронов, пересекающих рассматриваемую ячейку, пропорционально проводимости, то по рис. 3 можно судить о поведении восприимчивости сегнетоэлектрика при изменении температуры.

Рис.3. Зависимости числа электронов, достигших левую границу сегнетоэлектрической системы от величины  в отсутствие  внешнего электрического поля. 

Из рис.3а видно, что с увеличением температуры проводимость возрастает вплоть до точки фазового перехода, которая была определена в работе [2]. Такое поведение подтверждается также в экспериментальных работах В.В. Кочервинского и С.Н.Дрождина.

      Внешнее электрическое поле нейтрализуется внутренним полем сегнетоэлектрической системы, поэтому при низких температурах электрического тока не наблюдается. С увеличением температуры поляризация системы уменьшается, поэтому количество электронов, достигших левую границу, увелиличивается.

Литература:

1.      М.Клеман, О.Д.Лаврентович. Основы физики частично упорядоченных сред. Москва : Физматлит, 2007.  

2.     Настулявичус А.А., Баруздина О.С.,Павлова С.И. Изучение структуры молекулярного строения сегнетоэлектриков методами компьютерного моделирования // Материали за VIII международна научна практична конференция «Настоящи изследвания и развитие -2012».  17-25 януари 2012. Т.10.  с.85-88

3.     Т.О.Петрова, О.Г.Максимова, Р.А.Герасимов, А.В.Максимов. Применение аналитических и компьютерных методов  моделирования систем с ориентационными взаимодействиями // ФТТ. 2012. Т.54. №5.с.  883-884.