Автор: Запольская Тамара Михайловна

Научный руководитель: Ивахненко Н.Н.

Донецкий национальный университет экономики и торговли

им. Михаила Туган -Барановского.

История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово «quadratura» переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга” не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.) Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова «summa»). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского «integro», которое переводится как «приводить в прежнее состояние, восстанавливать». (Действительно, операция интегрирования «восстанавли-вает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово «integer» означает целый. В ходе переписки Иоганн Бернулли (младший брат Якоба Бернулли) и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики— интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797г.). Латинское слово «primitivus» переводится как «начальный»: F(x) = ∫ f(x) dx — начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием. В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную, называют определенным интегралом. Обозначение определённого интеграла ввел К. Фурье (1768—1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер.

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту. Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом.

Основные этапы, характеризующие метод Архимеда:

1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного;

2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю;

3) для вычисления площади круга остаётся найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа π (3.10/71<π<3.1/7), нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т. д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра). Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления. Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод — метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = xⁿ , где n — целое (т.е по существу вывел формулу ∫хⁿdx = xⁿ⁺¹/n+1, и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630—1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие, независимо друг от друга, факт, известный под названием формулы Ньютона — Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В. Остроградский (1801—1862), В.Я. Буняковский (1804—1889), П.Л. Чебышев (1821—1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции. Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, немецкого ученого Б. Римана (1826—1866), французского математика Г. Дарбу (1842—1917). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838—1922) теории меры. Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875—1941) и А. Данжуа (1884—1974), советским математиком А.Я. Хинчинчиным (1894—1959).

Таким образом, интегральное исчисление возникло из потребности создания общего метода нахождения площадей, объёмов и центров тяжести. Решениями этих задачи занимались уже в Древней Греции и Риме, что говорит о важности создания дифференциального и интегрального исчисления.

Список литературы.

1. М.Я. Виленкин, О.С. Ивашев–Мусатов, С.И. Шварцбурд, “Алгебра и математический анализ”, Москва,1993г.

2. “Сборник задач по математическому анализу”, Москва,1996г.

3. И.В. Савельев, “Курс общей физики”, том 1, Москва, 1982г.

5. Пинсий А. А. Физика. М., “Просвещение”, 1994.

6. Прохоров А. М. Большая Советская энциклопедия т.10., М., “Советская энциклопедия”, 1972.