Ковалець О

Ковалець О.Я.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

ПЛАСТИНИ ОБМЕЖЕНОЇ ПРОТЯЖНОСТІ

Проходження акустичних хвиль крізь плоскі перешкоди у вигляді нескінченних пластин описується суттєво спрощеним математичним апаратом і значно знижує трудоємність аналізу. Для вивчення окремих питань цього цілком достатньо і часто-густо такими моделями обмежується вивчення динаміки пружної взаємодії плоских перешкод із акустичною хвилею.

Разом з тим, імітаційне (наближене) моделювання процесу призвело, як з’ясувалося, до спрощень, за яких результати теоретичних і експериментальних досліджень стали призводити до не погоджених між собою висновків. В першу чергу це стосується прояву локальних особливостей.

Вихід із ситуації полягає в максимальному наближенні імітаційних механічних і математичних моделей до реальних. Стосовно вивчаємих задач – це вимагає переходу від нескінченних пластин до пластин обмежених розмірів.

Аналіз згинних коливань плоских тіл обмежених розмірів ефективно проводиться шляхом представлення збурення та прогину пластини подвійним рядом в прямокутній області. Цей метод має найбільш просту математичну інтерпретацію, але дозволяє, разом з цим, досить глибоко вивчати динаміку тіл обмежених розмірв.

Скористуємося ним для подальшого.

Розглянемо двовимірну задачу. Припустимо, що довжина пластини дорівнює , ширина – , товщина – і стала на всій площині. Вважаємо також, що товщина набагато менша інших розмірів, тобто

; .

Матеріал пластини приймаємо абсолютно пружним, однорідним та ізотропним на всій площині. Довжину згинної хвилі вважаємо більше ніж у шість раз перевищуючою товщину, що дає можливість використовувати рівняння тонкої пластини.

Акустичне поле приймається дифузним.

За введених обмежень, можна стверджувати, що бічні грані виділеного елементу площини довжини і ширини за весь час руху залишаються паралельними площинам та і перпендикулярними до серединної площини (рис. 1).

Якою б функцією координат , не був прогин пластини, його завжди можна навести в прямокутній області подвійним рядом за нормальними функціями, тобто

Рис. 1. Схема просторового навантаження пластини

, (1)

де , – числа напівхвиль згину відповідно вздовж осей та ; – зміщення точки поверхні пластини з координатами , в напрямку ; (рис. 7).

Легко бачити, що кожен член ряду (1) задовольняє граничним умовам виду

(2)

З огляду на вираз (31), можна обчислити максимальну потенційну енергію , що накопичується при згинній деформації.

З цією метою, достатньо означити максимальне значення потенціальної енергії елементарної ділянки (рис. 1), а потім одержаний вираз зінтегрувати у двох напрямках:

(3)

де – циліндрична жорсткість поверхні пластини; – модуль пружності; – коефіцієнт Пуасона.

Величина максимальної кінетичної енергії поперечних коливань пластини обчислюється за формулою

, (4)

де – питома маса; – колова частота.

Застосуємо загальне рівняння динаміки для побудови диференціального рівняння пластини в головних координатах. Одержуємо:

, (5)

де – власна частота коливань; – узагальнена

Рис. 2. Розподіл прогинів пластини: m, n – числа на півхвиль

сила, яка містить той фізичний зміст, щоб добуток являв собою віртуальну роботу, а чисельно сила визначається як коефіцієнт при варіації узагальненої координати .

Отже, якщо падаючу звукову хвилю навести у вигляді

, (6)

де – амплітуда тиску відповідної форми і , – числа напівхвиль звукового тиску, які приходяться на довжину і ширину, тоді її віртуальна робота обчислюється з формулою