Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения

К.ф.-м.н. Битимхан С.

Карагандинский экономический университет Казпотребсоюза, Казахстан

Об условиях интегрируемости тригонометрических рядов с коэффициентами из класса RBSVS

В работе рассматривается класс числовых последовательностей RBSVS и доказывается аналог теоремы Харди-Литтльвуда для косинус рядов Фурье функции , коэффициенты Фурье которые принадлежат к классу RBSVS. Также получена оценка сверху наилучшего приближения функции , при условии, что коэффициенты Фурье .

Пусть неотрицательная, - периодическая функция, заданная на . Через обозначим пространство всех измеримых по Лебегу - периодических функций для которых [1]:

.

Будем говорить, что функция удовлетворяет - условию, если [1]

,

где - длина интервала и .

Известно, что при почти всюду на пространство есть пространство [1].

Через обозначим наилучшее приближение функции тригонометрическими полиномами порядка не выше [2].

Для двух положительных величин запись означает, что существуют числа такие, что . В дальнейшем через будем обозначать положительные постоянные, вообще говоря, различные в разных формулах.

В работе [3] B.Szal определил класс числовых последовательностей RBSVS (rest bounded second variation sequence).

Определение. Нулевая последовательность неотрицательных чисел , если :

для любых натуральных .

В работе [3] показано, что класс RBSVS шире чем класс монотонных последовательностей. Поэтому актуальность вопроса рассмотренного в этой статье не вызывает сомнения.

Теперь приводим доказанные нами утверждения.

Теорема 1. Пусть функция имеет ряд Фурье

,

где . Если функция и удовлетворяет дополнительно условию , то тогда и только тогда, когда

.

При этом имеет место соотношения:

.

Замечание. При из этой теоремы следует лемма 6 работы [3].

Теорема 2. Пусть функция имеет ряд Фурье

,

где . Если функция , удовлетворяет дополнительно условию и

тогда

.

Доказательство. Пусть частичная сумма ряда Фурье функции . Рассмотрим разность . Получим

. (1)

Известно, что [2]

. (2)

С помощью теоремы об ограниченности оператора сопряжения [2] в пространстве , из (1) и (2) получим:

.

В работе [4] доказано, что если , то при фиксированном натуральном последовательность . Поэтому пользуясь теоремой 1, из последнего неравенства получим:

.

Теорема 2 доказана.

Литература:

1. Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function // Trans. American Math. Soc., 1972, v. 162, P. 207-226.

2. Hunt R., Muckenhoupt B., Wheeden R. Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform // Trans. American Math. Soc., 1973, v. 176, P. 227-251.

3. Szal B. Generalization of a theorem on Besov-Nikol’skii classes // Acta Math. Hungar., 125(1-2), 2009, P. 161-181.

4. Асетов А.А., Акишев Г.А. Наилучшее приближение функции и класс RBSVS // Вестник Карагандинского университета, серия: математика, 2013(2), С. 22-27.