Путят В.А., Лаптанович Д.М., Гурвич Ю.А.

Белорусский национальный технический университет

КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ПЕРЕОДИЧЕСКОЙ СИЛЫ

 

Если возмущающая сила F(t) является произвольной перио­дической функцией времени с периодом , то при весьма общих предположениях (выполнении условий Дирихле) функ­ция F(t) может быть представлена тригонометрическим рядом вида

(1)

(рядом Фурье). Коэффициенты этого ряда определяются фор­мулами

Если ввести обозначения

  

    

то ряд (1) можно представить в виде

                                                                       (2)

 

Отдельные члены этого ряда называются гармониками, значе­ниям s= 1, 2, 3 и т. д. соответствуют гармоники первого, вто­рого, третьего и т. д. порядков.

Дифференциальное уравнение движения  принимает вид

                                                         (3)

где      

Частное решение, соответствующее постоянному свободному члену, представляет постоянное отклонение h0/k2; оно несущест­венно, и в дальнейшем мы будем предполагать, что h0= 0.

Общий интеграл уравнения (3) будет

(4)

Как и выше, мы получили: 1) свободные колебания, обуслов­ленные наличием начальных отклонений и скоростей:

   

2) колебания, происходящие вследствие наличия возмущающих сил, но имеющие собственную частоту:

и 3) вынужденные колебания с частотами, кратными р:

                                                (5)

Свободные колебания  даже при малом сопротив­лении быстро становятся пренебрежимо малыми, так что во многих случаях можно ограничиться рассмотрением только вы­нужденных колебаний .

Если частота собственных колебаний равна целому крат­ному частоты возмущающей силы , где  — целое число, то возникает резонанс n-го порядка.

Члены разложения (4) с номером  сохраняют свой вид, что же касается членов с номером , то они, приводят к не­определенности вида 0/0 и после раскрытия неопределенности дают

так что в случае резонанса n-го порядка будем иметь решение

                     (6)

где штрих при знаке суммы указывает, что при суммировании следует опустить член, соответствующий . При достаточно большом t всеми членами, в которых t входит только под знаком тригонометрических функций, можно пренебречь, и мы получим

                                     (7)

т. е. x возрастает здесь неограниченно вместе с t. В общем слу­чае периодической силы колебания точки представляют собой результат наложения колебаний, соответствующих каждой гар­монической составляющей возмущающей силы по отдельности; резонанс имеет место при  ( = 1, 2, ...), т. е. при равен­стве частоты свободных колебаний целому кратному частоты возмущающей силы.

Если в разложении периодической силы в ряд Фурье отсут­ствует гармоника одного из порядков, то соответствующего ей резонанса не будет. Пусть, например, F(t) разлагается в ряд, в котором отсутствуют все четные гармоники; резонанс будет иметь место при k = р, Зр, 5р и т. д., но не при k = 2р, 4р и т. д.