Евсеев В.И.,

канд. физ.-мат. наук, доцент, г. Казань, РТ, Россия

Основные  понятия трехзначной «мягкой» логики

 

Аннотация:

В работе изучаются основные свойства отделяющих функций «мягкой» модели трехзначной логики, а также определенные в ней унарные операции.

Ключевые слова: «мягкая» модель, основные логические классы, условная ортогональность, условная идемпотентность, унарные операции.

 

Summary:

in this paper, we study the basic properties of separating the functions of the soft model of three values, as well as operations in identified unary logic.

Keywords:

'sweet' model, the classes of logical basis, conditional orthogonality, conditional Idempotence, unary operations.

 

1.     Основное уравнение и отделяющие функции в

В этих заметках мы продолжим изучение «мягкой» модели трехзначной логики, начатое нами в [2]. Саму эту модель обозначим , ее отделяющими  функциями будут уже указанные в цитированном источнике значения, построенные на базе основного уравнения этой системы:

                                                                      (1)

В данном случае логические классы обозначены: ,  –   логический параметр этой системы,  –  значения логического параметра на соответствующих классах истинности.

При этом отделяющие функции принимают значение единица  только на своем классе, а на двух других равны нулю.

Таким образом, мы получаем следующие выражения для  отделяющих функций этой трехзначной системы:

,                                                                             (2)

,                                                                              (3)

.                                                                              (4)

Теперь изучим основные  свойства этих функций.

 

2.     Основные свойства отделяющих функций.

 

Прежде всего,  введем понятие главного определителя «мягкой системы». В данном случае он имеет вид:

.                                                                        (5)

Так как мы предполагаем, что  все три значения отделяющих функций различны, и  , то этот определитель строго положителен. Этот определитель входит во многие формулы данной системы.

Теперь рассмотрим основные свойства отделяющих функций.

Полнота системы, она характеризуется основным условием:

.                                                                            (6)

 На этом примере покажем, как проводятся доказательства утверждений с использованием главного определителя системы.

Так, здесь получаем:

Преобразование заключается в том, что нужно собрать в квадратных скобках значения при второй и  первой степенях параметра , а также свободный член этой формулы:

Ясно, что значения первых двух скобок равны нулю, а последние слагаемые дают как раз значение главного определителя, хотя в несколько иной форме.

Таким образом, это свойство доказано.

 

3.      Условная ортогональность отделяющих функций.

 

 

Условная ортогональность отделяющих функций заключается в том, что для них произведение любой пары различных отделяющих функций выражается в виде произведения функции основного уравнения системы на некоторую линейную функцию, мы ее будем называть весом ортогональности.

Так,  для произведения первых двух отдаляющих функций получаем:

 

.

 

После небольших преобразований с учетом неоднократных перемен знаков получим окончательную формулу:

                                                                       (7)

здесь           ,                                                                          (8)

 

это – весовая функция данной условной ортогональности.

Для двух следующих случаев приведем только окончательные результаты.

Так, для произведения  нулевой и второй отдаляющих функций получаем:

,                                                                           (9)

где весовая функция

.                                                                                    (10)

Аналогично, для произведения первой и второй отделяющих функций приходим к результату:

     .                                                                   (11)

Здесь значение весовой функции следующее:

.                                                                                   (12)

 

4.     Условная идемпотентность отделяющих функций.

Условная идемпотентность представляет собой взаимосвязь между квадратом и первой степенью отделяющей функции. Общая формула для всех отделяющих функций имеет вид:

,                                                              (13)                         

здесь

Весовые функции в этом случае также линейные, они имеют вид:

,                                                                    (14)

,                                                                     (15)

.                                                                 (16)

 

5.     Отделяющая функция для инверсии.

 

В трехзначной логической системе имеется две унарные операции:

инверсия как симметрия относительно класса неопределенности , которая характеризуется таблицей переходов классов:

 

 

 

А также логический сдвиг (транш), при котором классы истинности переходят последовательно друг в друга:

 

 

 

В случае инверсии мы получаем переход от суждения

,                                                           (17)

к его инверсии

.                                                            (18)

При этом  – значение логического параметра для данного суждения.

Для инверсии в результате вычислений получаем формулу:

,                                                                                           (19)

здесь  квадратичная функция инверсии имеет вид:

                  (20)

 

Для конкретных значений логического параметра находим:

                   (21)

После раскрытия скобок и приведения подобных членов окончательно получим:

, 

значит,

Аналогично, получаем для двух других случаев соответствие с таблицей.

 

6.     Отделяющая функция для логического сдвига

 

Формула для суждения после выполнения логического сдвига:

 .                                                               (22)

Поэтому функция истинности принимает вид:

.                                                             (23)

Эту функцию в общем случае представим через главный определитель:

.                                                                                                  (24)

При этом квадратичная функция транша имеет вид:

 (25)

Эта формула точно соответствует таблице для логического сдвига.

 

Проверку результатов, которая здесь сложностей не представляет, мы оставляем нашим пытливым читателям.

В следующих наших работах мы планируем перейти к бинарным операциям конъюнктивного типа для трехзначной «мягкой» логической системы.

 

Литература:

 

1.     Евсеев В.И. Конструктивная комплементарная семантика. Монография. Изд-во «Ламберт». 2014 г.

2.     Евсеев В.И. О бинарных операциях в многозначных логиках//Материалы Х международной научно-практической конференции «Образование и наука ХХI века», т. 11, 2014, София, «Бял ГРАД-БГ» ООД, (31 –  47) .