Богданов Александр Иванович

Доктор технических наук

Профессор кафедры экономики и финансов Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна, Россия

 

Ильин Федор Васильевич

Аспирант кафедры экономики и финансов Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна, Россия

 

Имитационная модель оценки эффективности и принятия решений по управлению реальными инвестициями

 

При анализе эффективности инвестиций на практике широко применяется показатель чистой приведенной (текущей) стоимости - Net Present Value (NPV) [1].

    ,                                                         (1)

где NPV  - чистый приведенный доход;

   Zt - величина инвестиций в t-ом году;

  Пt - генерируемые за счет сделанных инвестиций доходы в t-ом  году;

   r - коэффициент дисконтирования;

  T  - количество лет жизненного цикла изделия.

 

Отметим, что формулу (1) можно преобразовать к виду

                                                                                   (2)

где   – прибыль, получаемая за счет сделанных инвестиций в t-ом году.

Положительное значение NPV означает, что по результатам реализации проекта расходы на инвестированный капитал будут покрыты денежным потоком, генерируемым проектом. Соответственно, при сравнении нескольких проектов с сопоставимыми объемными показателями инвестирования и денежного потока, предпочтительным будет тот, NPV которого больше.

Заметим, что модели (1) и (2) являются детерминистическими и не учитывают вероятностный характер будущих доходов и затрат, связанный с наличием многочисленных рисков и неопределенностей.

В какой-то степени такой учет имеется в формуле Дисмана, отличающейся от формулы (2) учетом вероятностей успеха.

                                                                         (3)

где РT, Рк — вероятности достижения технического и коммерческого успеха.

Однако формула Дисмана по сути представляя собой математическое ожидание NPV в случае  «все или ничего» с соответствующими вероятностями.

В реальной ситуации значение Rt  представляет собой непрерывную случайную величину.  Из этого вытекает, что NPV как сумма случайных величин также является случайной величиной.

Оценки величин Rt на будущее с учетом жизненного цикла изделия могут быть получены экспертами. При этом каждый эксперт дает как бы одну из возможных реализаций случайного процесса во времени.  Усредняя экспертные оценки для всех t,  получим оценку математическое ожидание дохода M(Rt)  и дисперсии σ2(Rt)  (характеристики разброса ее значений относительно математического ожидания).

Оценка математического ожидания Rt  с учетом мнений всех экспертов

,

где m – количество экспертов;

 - оценка величины Rt j-м экспертом.

Если предположить, что все эксперты дают несмещенные оценки величины M(Rt), т.е.  то

Таким образом, оценка  является несмещенной.

Оценки дисперсий  и ковариаций  могут быть получены на основании обработки результатов экспертных оценок

 

Если рассматривать норму дисконта с учетом инфляции ( , то вследствие случайности инфляции, она также является случайной величиной. В этом варианте мы ничего не можем сказать о законе распределения случайной величины NPV. Поэтому в каждом конкретном случае закон распределения может быть установлен с помощью имитационного моделирования.  Для моделирования случайных величин уровня инфляции (J) и годового дохода (Rt) воспользуемся одним из методов имитационного моделирования - методом Монте-Карло [2] с использованием датчика случайных чисел (ДСЧ) – устройства для выработки нормально распределенных случайных чисел.

С помощью ДСЧ получим некоторую реализацию значений Rt по годам. Аналогичным способом получим и реализацию значения J.  Далее рассчитаем NPV по данным, полученным в ходе каждой генерации данных с помощью ДСЧ. Данную процедуру повторим достаточно большое количество раз, например n=1000.

В результате статистической обработки n генераций найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины NPV.

Для прогнозирования уровня инфляции J можно применять метод экстраполяции временного ряда, с помощью которого будут получены как сами прогнозы так и оценки их дисперсий.

При применении для прогнозирования на момент времени  полиномиальной модели

….+

оценка дисперсии ошибки прогноза определяется по формуле [3]

где - оценка дисперсии случайной составляющей модели;

n – число точек временного ряда;

k- порядок полинома;

 

   

Так как прогнозная оценка  является несмещенной оценкой математического ожидания , то при имитационном моделировании вместо неизвестной величины  будем использовать ее оценку , а оценку дисперсии ошибки прогноза использовать в качестве дисперсии генерируемой случайной величины.

Таким образом, при имитационном моделировании

При моделировании случайного процесса Rt  (t=1,2,…T) следует учитывать наличие автокорреляции генерируемого Rt   с предыдущими значениями .

Будем рассматривать Rt  как зависимую переменную, а  как независимые переменные. Пострим модель регрессии Rt по . Для этого введем следующие обозначения

Y=(R1t, R2t, … Rmt)’

где - количество экспертов.

Модель множественной линейной регрессии имеет вид

;  

где - условное математическое ожидание  при заданных значениях ;  – случайная составляющая.

Оценки коэффициентов  могут быть получены по методу наименьших квадратов [3]

Тогда оценка среднего уровня   для сгенерированных ранее значений  составит

Для генерации случайной величины  к вычисленной оценке  будет добавлено случайное число с нулевым математическим ожиданием и дисперсией  с нормальным законом распределения.

Указанная процедура будет проведена итеративно для t=2,..,T. Для получения  будет просто использован датчик случайных чисел, имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием  и дисперсией .

В стохастической постановке задача выбора оптимального инвестиционного проекта представляет собой задачу выбора из множества вероятностных распределений. Согласно современной портфельной теории для инвестора важны прежде всего математическое ожидание и дисперсия ожидаемого результата [4]. Таким образом, мы имеем многокритериальную задачу – максимизация математического ожидания  и минимизация его дисперсии [5].

Для каждого варианта инвестиционного проекта оценки этих параметров закона распределения  могут быть найдены с помощью имитационного моделирования.

Для решения упомянутой многокритериальной задачи воспользуемся методом сведения целей в ограничения. На изменчивость возможного результата наложим ограничение, а из удовлетворяющих этому ограничению вариантов выбираем тот, у которого значение M(NPV) больше.

Результаты практической апробации в ЗАО «АНА» (Санкт-Петербург) подтверждают эффективность предложенного подхода к оценке эффективности инвестиций и принятию инвестиционных решений в условиях риска.

 

Работа поддержана грантом Комитета по науке и высшей школе при правительстве Санкт-Петербурга.

 

 

Литература

 

1.     Михайлова Э.А., Орлова Л.Н. Экономическая оценка инвестиций: Учебное пособие.- Рыбинск: РГАТА, 2008.- 176 с.

2.     Соболь И.М. Метод Монте-Карло - М.: Наука, 1985. - 80 с.

3.     Богданов А.И. Эконометрика: учебное пособие. – СПб. : СПГУТД, 2010- 105 с.

4.     Шарп, У. Инвестиции/ пер. с англ. Г. Александер, Бэйли Дж.- М.: ИНФРА-М, 1997.- 1024 с.

5.     Богданов А.И. Методы и модели принятия инвестиционных решений: монография./ А.И. Богданов, Л.Н.Никитина – СПб.: СПГУТД, 2009.-

87 с.