Математика/1.Дифференциальные и интегральные уравне­ния

 

Д.ф.-м.н. Городецький В. В.

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,Україна

 

Багатоточкова за часом задача для одного класу еволюційних псевдодиференціальних рівнянь

При побудові загальної теорії крайових задач, математичному моделюванні задач, що виникають у теорії періодичних хвилеводів, біології, фізиці ядерних реакцій, демографічних дослідженнях, при вивченні коливань різних систем виникають нелокальні крайові задачі для диференціально-операторних рівнянь та рівнянь з частинними похідними.

Дослідженням нелокальних крайових задач у різних аспектах займалося багато математиків, використовуючи при цьому різні методи й підходи (О.О. Дезін, В.К. Романко, С.Г. Крейн, В.М. Борок, Б. Й. Пташник, О.А. Самарський, А.Н. Нахушев, В.І. Чесалін та ін.). Одержані важливі результати щодо постановки, коректної розв’язності та побудови розв’язків, досліджені питання залежності характеру розв’язності задач від поведінки символів операцій, сформульовані умови регулярності та нерегулярності крайових умов для важливих випадків диференціально-операторних рівнянь. Крайову задачу з багатоточковими умовами в циліндричній області для загального -параболічного рівняння дослідив М. І. Матійчук [1]. Двоточкова за часом задача для рівняння теплопровідності та -параболічного рівняння зі сталими коефіцієнтами також досліджена в [1]. Тут досліджується багатоточкова за часом задача для еволюційного рівняння

  ,                                   (1)

де  – псевдобесселевий оператор, побудований за однорідним негладким у точці 0 символом (функцією ), у класі крайових умов з простору узагальнених функцій  типу розподілів ( та – пряме та обернене перетворення Бесселя). Зазначимо, що задача Коші для еволюційних рівнянь (1), а також для рівнянь вигляду (1), але з оператором , досліджена в [2-4].

Наведемо основні означення, що стосуються топологічної структури просторів основних та узагальнених функцій. Нехай – фіксоване число з множини ,  – фіксоване число з множини , , , , . Символом позначатимемо простір, елементами якого, за означенням, є нескінченно диференційовні на  функції, які задовольняють нерівності

, , , .

          У  вводиться структура зліченно-нормованого простору за допомогою норм ,  де ,  – фіксований параметр.

У просторі  визначені і неперервні операції зсуву аргументу та диференціювання.

          Символом  позначатимемо сукупність усіх парних функцій з простору . Оскільки  утворює підпростір , то в  природним способом вводиться топологія. Цей простір з відповідною топологією називатимемо основним, а його елементи – основними функціями. На функціях з простору  визначене перетворення Бесселя :

де  – нормована функція Бесселя, при цьому  – парна, обмежена, неперервна на  і нескінченно диференційовна на  функція. У функції   існують скінченні односторонні границі  функція   у точці  має усувний розрив, функції з простору  задовольняють умову:

    ,

перетворення Бесселя відображає  на  взаємно однозначно і неперервно [5].

          Символом  позначимо оператор узагальненого зсуву аргументу, який відповідає оператору Бесселя :

де  ( – гамма-функція), при цьому . Оператор  визначений і неперервний у просторі , а операція  є нескінченно диференційовною у цьому просторі, тобто граничні співвідношення вигляду

справджуються за топологією простору .

          Символом  позначатимемо простір, топологічно спряжений до , елементи цього простору називатимемо узагальненими функціями. Кожна узагальнена функція  має скінченний порядок, тобто  при деякому  (яке називають порядком ), де –  поповнення  за нормою .

Оскільки в просторі  визначена операція узагальненого зсуву аргументу, згортку узагальненої функції  з основною функцією задамо формулою  (індекс  у  означає, що функціонал  діє на основну функцію за змінною ), при цьому  є нескінченно диференційовною на  функцією. Якщо , , , і із співвідношення  при  за топологією простору  випливає, що  при  за топологією простору , то функціонал  називається згортувачем у просторі . Перетворення Бесселя узагальненої функції  визначається за допомогою співвідношення , , при цьому . Якщо узагальнена функція  – згортувач у просторі , то для довільної функції  правильною є формула: .

          Нехай :  – неперервна, парна на  функція, однорідна порядку , яка: 1) нескінченно диференційовна при ; 2) похідні функції  задовольняють умову:   : ; 3)  : .

          Зазаначимо, що з накладених умов на функцію  випливає, що  – мультиплікатор у просторі . Нехай  – псевдобесселевий оператор, побудований за символом , тобто , . Для еволюційного рівняння (1) розглянемо нелокальну багатоточкову за часом задачу

                                    (2)

де , ,  – фіксовані параметри, , . Класичний розв’язок  задачі (1), (2) шукаємо за допомогою перетворення Бесселя, у результаті чого знайдемо, що

, ,  , , .

Властивості функції  визначаються властивостями функції .

Лема 1. При фіксованому  функція  нескінченно диференційовна по ; для її похідних сравджуються оцінки

,  , ,                (3)

де  – сталі, незалежні від , , , якщо , , якщо , .

Із оцінок (3) випливає, що , як функція аргументу , при кожному  є елементом простору . Тоді , як функція , є елементом простору   (при кожному ). Крім того,  – парна функція аргументу   (при фіксованому ), неперервно диференційовна функція аргументу  (при фіксованому ). Інші властивості функції  описують наступні твердження.

Теорема 1. Для функції  та її похідних (за змінною ) правильними є оцінки: , , , , , де стала  не залежить від .

Теорема 2.  при  у просторі  (тут  – дельта-функція Дірака, ).

Теорема 3. Функція , , як абстрактна функція параметра  із значеннями в просторі , диференційовна по .

Символом  позначимо клас узагальнених функцій з , які є згортувачами у просторі .

Лема 2. Нехай , ,. Тоді у просторі   справджується граничне співвідношення

.

Надалі функцію  називатимемо фундаментальним розв’язком багатоточкової задачі (ФРБЗ) для рівняння (1). З леми 2 випливає, що для рівняння (1) багатоточкову за часом задачу можна ставити так: знайти розв’язок  рівняння (1), який узальнює граничну умову

,   ,                    (4)

де границі розглядаються у просторі   (обмеження на параметри   такі ж, як і у випадку задачі (1), (2)).

Основний результат складає наступне твердження.

Теорема 4. Задача (1), (4) коректно розв’язна. Розв’язок зображається у вигляді згортки:

, ,

де  – ФРБЗ для рівняння (1).

Література:

1.     Матійчук М.І. Параболічні сингулярні крайові задачі. – Київ: Інститут математики НАН України, 1999. – 170 с.

2.     Городецький В. В., Ленюк О. М. Еволюційні рівняння з псевдобесселевими операторами // Доп. НАН України. – 2007. – №8. – С. 11-15.

3.     Ленюк О. М. Задача Коші для еволюційних рівнянь з псевдобесселевими операторами // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. пр. Вип. 349. Математика. – Чернівці: Рута, 2007. – С. 55-65.

4.     Шевчук Н. М. Задача Коші для еволюційних рівнянь з псевдобесселевими операторами нескінченного порядку // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. пр. Вип. 374. Математика. – Чернівці: Рута, 2008. – С. 145-154.

5.     Городецький В. В. Задача Коші для еволюційних рівнянь нескінченного порядку. – Чернівці: Рута, 2005. – 291 с.