Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения

 

Ву Н. Ш. Т., к. ф.-м. н. Прядиев В. Л.

 

Белгородский государственный национальный исследовательский университет

 

Некоторые классы естественных условий

в задаче Штурма-Лиувилля на графе

 

 

Введение. 

Известно (см., например, [1]), что функция , , минимизирующая функционал

                                

на множестве , удовлетворяет не только дифференциальному уравнению , где , но и краевым условиям , . Эти краевые условия называются естественными. Знание вида естественных условий позволяет получать оценки на собственные значения соответствующей задачи Штурма-Лиувилля, что в случае функционала более общего вида, нежели , может оказаться полезным в приложениях.

В настоящей статье рассматривается функционал

                  ,                      (1)

где  – геометрический граф,  и  – некоторые положительные функции, а  и  – квадратичные формы относительно значений  и  в вершинах . Изучается вопрос о виде естественных условий, которым должна удовлетворять функция , минимизирующая функционал . При этом рассматриваются два класса функций, на которых минимизируется : класс функций, непрерывных на , и класс функций, допускающих разрывы в вершинах .

 

 1. Общие понятия и факты.

 Начнём с понятия геометрического графа. Под геометрическим графом мы понимаем связное множество , представимое в виде , где , , – прямолинейные отрезки. При этом будем предполагать, что при , , где через  обозначено множество концевых точек отрезка , .

Пусть ; точки из  называются вершинами графа . Зафиксируем множество  такое, что  связно. Точки из  называются граничными вершинами , а точки из  называются внутренними вершинами . Для любой вершины  через  будем обозначать  | . Ниже, для простоты изложения, будем предполагать всегда, что к каждой граничной вершине примыкает ровно одно ребро, то есть .

Всюду далее предполагается, что каждое из рёбер графа как-то ориентировано, то есть при каждом  для каждой из двух точек множества  указано какая из них первая (начало отрезка ), а какая – последняя (конец ). Договоримся всюду далее начало  обозначать через , а конец – через .

Будем считать всегда, что в  задана евклидова топология, а на  – топология, индуцированная из . Пусть  – множество всех функций, непрерывных на , а  – множество всех функций , определённых и непрерывных на  и имеющих конечные пределы

                                  

для любой  и любого .

Производная  функции  в точке  понимается нами так же, как и в [2], и так же, как и в [2], через  для  и  мы обозначаем производную функции  в точке  вдоль ребра  в направлении от . Пусть

     и .

В дальнейшем мы будем рассматривать задачу о минимизации функционала (1) только на множествах

и

.

Пусть  – функционал, определённый на  формулой

                                                                          (2)

где

                     ,

                      ,

а функция  минимизирует  на . Здесь  и  положительны, причём ,  на , а , , ,  – некоторые вещественные числа. Если для  существует ненулевой линейный относительно  и  () функционал  такой, что , то условие  будем называть естественным (для пары (, )) в точке .

Аналогично понимается естественное условие в точке  для пары  для

где

                   

                     

 и  – те же, что и в (2), , , ,  – некоторые вещественные числа.

 

 2. Формулировка и доказательство основного результата.

  Теорема 1. Пусть

                                 

где . Тогда  есть решение уравнения

                                                              (3)

и удовлетворяет естественным условиям

                                          (4)

и условиям

                                                    (5)

причём набор (по ) условий (4) и набор тех из условий (5), для которых , исчерпывают все линейные независимые естественные условия.

Доказательство. В силу определения  имеем

                                             (6)

и

            (7)

для  и достаточно малых . Из (7) в силу (6) следует, что

                                                            (8)

для всех ; здесь

Интегрируя в (8) по частям получим, что

                                        (9)

Пусть

           

Тогда для любого  равенство (9) примет вид

                                  

Отсюда по лемме Лагранжа получим, что

                                     на .

Аналогично мы получим, что  на , на , ..., на . Таким образом,  есть решение уравнения (3).

С учётом этого (9) принимает вид

          

то есть

                                        (10)

Зафиксируем  и рассмотрим множество

{ | }

При  равенство (10) принимает вид

                                              (11)

Ввиду произвольности  естественность условий (4) доказана.

Подставляя теперь (11) в (10), получим

                                              (12)

Фиксируя  и , рассмотрим множество  функций  таких, что  и , если  или . Для  равенство (12) принимает вид

                                 

Теорема доказана.

Замечание. Если , то (5) принимает вид .

Теорема 2. Пусть

                               

где . Тогда  есть решение уравнения

                                                          (13)

и удовлетворяет естественным условиям

                              (14)

и условиям

                                                  (15)

причём набор условий (14) и набор тех из условий (15), для которых , исчерпывают все линейные независимые естественные условия.

Доказательство. В силу определения  имеем

                                        (16)

и

        (17)

для  и достаточно малых . Из (17) в силу (16) следует, что

                                                        (18)

для всех ; здесь

Интегрируя в (18) по частям получим, что

                                    (19)

Пусть

 | }.

Тогда для любого  равенство (19) примет вид

                                 

Отсюда по лемме Лагранжа получим, что

                                    на .

Аналогично мы получим, что  на , на , ..., на . Таким образом,  есть решение уравнения (13).

С учётом этого (19) принимает вид

                                  (20)

Зафиксируем  и  и рассмотрим множество  функций  таких, что  и , если  или , а также  для всех  и . При  равенство (20) принимает вид

                                          (21)

Ввиду произвольности  естественность условий (14) доказана.

Подставляя теперь (21) в (20), получим

                                            (22)

Фиксируя  и , рассмотрим множество  функций  таких, что  и , если  или . Для  равенство (22) принимает вид

                                

Теорема доказана.

 

Литература:

1. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. - М.: Мир, 1966. - 328 с.

2. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 272с.