к.ф.-м.н. И.А. Долгарев и к.ф.-м.н. А.И. Долгарев

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА КОРТЕЖЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ ПолЯ ГАЛУА, СОСТОЯЩЕГО иЗ ЭЛЕМЕНтОВ

Рассмотрено поле Галуа, состоящее из элементов, простое число. На кортежах элементов этого поля с использованием нелинейной операции определена абелева группа. Она содержит элементы, порядки которых больше . Существует линейное пространство на указанной группе, отличное от стандартного линейного пространства над полем Галуа.

В работе изучается одна из абелевых подгрупп унитреугольной группы матриц порядка над полем Галуа , состоящем из элементов. Указанная подгруппа содержит элементы порядков , т.е. не является элементарной абелевой. Рассмотрены абелевы группы кортежей , операции над кортежами записываются нелинейными равенствами. Определены различные линейные пространства на группах кортежей над полем , , . Исследуемые группы полны, т.е. это группы с однозначным извлечением корня.

1. Абелева подгруппа группы унитреугольных матриц

Рассматривается поле Галуа , состоящее из элементов, простое число, и группа унитреугольных матриц , , над полем . В группе выделяется подмножество матриц, на диагоналях которых находятся одинаковые элементы:

= .

Каждая матрица однозначно определяется своим первым столбцом.

Лемма 1. Множество является абелевой подгруппой группы унитреугольных матриц .

# Единичная матрица есть . Произведение матриц из является матрицей того же вида:

,

где , , . (1)

Элементы обратной матрицы являются решением системы линейных уравнений, получаемой по равенствам (1)

Система уравнений имеет единственное решение, так как ее определитель отличен от 0. Это означает, что вместе со всякой матрицей содержит и ей обратную. Следовательно, является подгруппой в . Равенства (1) указывают на коммутативность умножения в .#

Для матриц из , где кольцо целых чисел, в работе [1; с. 160] установлено равенство, :

, (2)

где , ;

которое верно, в частности, для матриц из . В случае имеем

– нулевая матрица.

Равенство (2) выполняется и для матриц из , как для элементов из . Важно установить, какие слагаемые содержатся в последнем элементе первого столбца матрицы , если . При имеем:

==

= =

= = .

Последнее слагаемое в нижнем элементе первого столба матрицы при есть . При аналогичными вычислениями находим: = ,

Если , то последнее слагаемое в нижнем элементе первого столбца матрицы равно . Очевидно, в нижнем элементе первого столбца матрицы последнее слагаемое есть .

Матрица содержится в .

2. Группы кортежей элементов поля

На конечнопорожденной нильпотентной группе без кручения в книге [1; с. 159] введены целочисленные координаты. Аналогично координаты вводятся в группах . Элементы групп записываются в виде кортежей из и групповые операции являются операциями над кортежами по аналогии с операциями над векторами. Групповая операция в компонентах кортежей записывается нелинейно. Например, существует биекция

.

Произведению матриц

=

соответствует сумма кортежей

.

В третьей компоненте суммы имеется слагаемое второго порядка, то есть групповая операция на нелинейна.

Воспользуемся координатами на группах .

Теорема 1. Группа изоморфна группе кортежей с операцией

, (3)

где компоненты суммы определяются равенствами (1):

, , .

# Биекция между элементами группы и кортежами из такова:

. (4)

В этой биекции матрице соответствует кортеж , компоненты которого определяются равенствами (1). Из того, что абелева группа, лемма 1, следует, что множество кортежей с операцией (3) является абелевой группой с операцией, определяемой равенствами (1) с нелинейной операцией, определяемой равенствами. #

Мы имеем группу кортежей . Нулевой элемент группы равен = .

Известно, что множество кортежей является абелевой группой относительно операции сложения

. (5)

Это группа . Операция (3) на множестве альтернативна операции (5), поэтому она обозначена символом . Альтернативная операция рассмотрена в работах [2, 4], где изучается линейное пространство над полем действительных чисел с операциями

, , .

Это линейное пространство использовано в построении альтернативной аффинной плоскости , [3]. Альтернативные операции нелинейны, компоненты результатов операций, начиная со второй, содержат произведения компонент исходных кортежей.

Для кортежей из определяются кратные , , с использованием степеней матриц из , см. (2), или в результате целочисленного повторения слагаемого в суммировании , см. (1). Имеем следующую таблицу операций над кортежами из для начальных значений .

, , ;

, = ,

= ;

, =

,

=

;

, =

,

=

.

При последнее слагаемое ой компоненты кортежа есть .

Мы рассматриваем поле Галуа , состоящее из элементов. Ниже установлено, что в группе содержатся кортежи, порядки которых равны . Пусть = . Найдем порядок .

Теорема 2. Если есть поле, состоящее из элементов, и , то .

# Воспользуемся изоморфизмом групп и , см. теорему 1. В равенстве (2) положим , . При каждое число делится на , а значит сравнимо с нулем по модулю . Следовательно, . Вместе с тем , так как . Таким образом, . Значит, и . #

Доказанная теорема означает в частности, что группа кортежей элементов поля , состоящего из элементов, содержит кортежи, порядки которых больше . Группа содержит элементы порядка , группа , , содержит элементы порядка .

3. Линейные пространства над полем Галуа

Рассматриваем поле Галуа , состоящее из элементов, и множество кортежей элементов поля . Если * есть операция сложения кортежей, то операцию умножения кортежей на скаляры из поля обозначаем ; так как внешняя операция связана с внутренней. Имеется линейное пространство над полем : , где сложение есть (5) и операция такова . Существуют и другие линейные пространства над другими полями, носителем которых является множество кортежей , [5]. Выше, в п. 2, определена группа на носителе с операцией (3), альтернативной к (5). Воспользуемся внешней операцией на . Она соответствует внешней операции (2) на .

Лемма 2. В группе для всякой матрицы и целого числа существует матрица , удовлетворяющая равенству

=. (6)

# На основе равенства (2) для величин получается система уравнений, составленной по равенствам (1) с правыми частями . Пример такой системы рассмотрен в п.1, составленной на основе равенства = при . Нужно рассмотреть матрицу из , заменить на и на . Получаемая система уравнений имеет единственное решение. #

Лемма 2 означает, что справедлива

Теорема 3. является группой с однозначным извлечением корня, т.е. полной группой. #

Полнота группы означает разрешимость уравнения (6) для всех и , см. [1; с. 86 – 90].

Ввиду изоморфизма групп и , группа кортежей обладает теми же свойствами, что и группа матриц . На группе имеется внешняя операция :

Определение. Произведением кортежа на элемент называется кортеж , соответствующий матрице в изоморфизме (4).

В п.2 приведены внешние операции на группах кортежей при . Лемма 2 определяет кратное . Равенства (2) на основании изоморфизма (4) определяет кратное = . Однако, конечного линейного пространства над полем рациональных чисел не существует. Действительно, виду конечности линейного пространства, для кортежей имеется число , что . Значит, сравнимо с нулем по некоторому модулю и рациональное число должно быть целым. Таким образом, имеется пространство над конечным полем.

Пусть поле Галуа, .

Теорема 4. Структура , где поле Галуа, , наивысший порядок элементов из , является линейным пространством, состоящем из кортежей из с операцией сложения , см. (3), над кортежами, и умножением кортежей на скаляры из поля .

# По теореме 1, – абелева группа. На кортежах из выше определены кратные , . Согласно теореме 2, существует число , что кортеж из имеет порядок . Рассматриваем поле , изоморфное полю классов вычетов по модулю . Пусть принадлежит полной системе вычетов из по модулю . Умножение кортежей = на скаляры из есть умножение кортежей на скаляры из указанной полной системы вычетов; умножение происходит согласно определению, приведенному выше. Выполняются свойства: = ; , так как справедливы соответствующие свойства для степеней матриц из . Аксиомы линейного пространства для операций и выполняются. #

4. Пример.

Пусть поле, состоящее из двух элементов, т.е. . Имеем, что характеристика поля есть . Таблицы операций в поле:

есть группа матриц , где , каждый из , является либо 0 либо 1. подгруппа состоит из матриц = . Обозначим: = = . Находим степени матрицы , где .

= = ,

= = = ,

= = = = , единичная матрица в группе . Выполняется при , = . Очевидно, степени и совпадают, если . Порядок матрицы из группы равен 4.

В биекции:

,

является множеством пар элементов поля ; в биекции матрице = соответствует пара . Находим:

= = .

Произведению матриц в биекции соответствует пара

,

где , .

Тем самым является изоморфизмом между группами и . Операция сложения пар альтернативна операции сложения : в том смысле, что операции имеется альтернатива . Возведению матриц в целую степень соответствует в автоморфизме умножение пар из на целое число:

.

Умножение пар на числа производится по правилу:

, .

Обозначим: . Степеням матрицы , выписанным выше, соответствуют пары, кратные .

= ; = ;

= = .

Таким образом, при , . Порядок элемента группы равен 4 = , хотя пары из составлены из элементов поля . Группа состоит из четырех элементов и является циклической, как и группа матриц . Имеется линейное пространство над полем , поле состоит из четырех элементов.

Подводя итоги, получаем следующее.

(а) Существуют линейные пространства кортежей длины элементов поля Галуа, состоящего из элементов, над полем , , .

(б) Линейные пространства и неизоморфны.

(в) Не существует линейного пространства над полем .

(г) Существует натуральное число такое, что порядок кортежа из превосходит любое заданное число .

Последнее свойство линейных пространств кортежей замечательно тем, что имея поле, состоящее из элементов, можно получить кортежи порядков , .

Литература.

1. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1982. – 288с.

2. Долгарев А. И., Долгарев И.А. Альтернативное 2-мерное действительное линейное пространство. Группа Ли замен базисов пространства. // Владикавказкий математический журнал. – Владикавказ, 2008, Т.10, вып. 2. – С. 9 – 20.
3. Долгарев А.И., Долгарев И.А. Альтернативная аффинная плоскость.// Владикавказский математический журнал – Владикавказ, 2007, Т.9, вып. 4. – С. 4 – 14.

4. Долгарев А.И., Долгарев И.А. Действительные линейные пространства малых размерностей с нелинейными операциями. // Алгебра, логика и методика обучения математике. Материалы Всероссийской конференции, посв. 100-летию со дня рожд. С.Л. Эдельмана. Красноярск, 5-6 ноября 2010. Красноярск: КГПУ, С. 35 – 37.

5. Долгарев И.А., Долгарев А.И. Альтернативные действительные линейные пространства размерностей 2,3 и 4.// Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. № 1(17). – С. 3 – 19.