Математика/5. Математическое моделирование

К.т.н. Коновалов О.А., к.т.н., доцент Коновальчук Е.В.,
к.т.н., доцент Малыков К.А., к.т.н. Каберов С.Р.

Военный авиационный инженерный университет, Россия

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
РЕСУРСОВ С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ФАКТОРОВ

ПРИ ЭКСПЛУАТАЦИИ АВИАЦИОННОЙ ТЕХНИКИ

 

В последнее время развитие современной электронно-вычислительной техники, привело к возможности автоматизации широкого класса функций управления распределением ресурсов [1].

Актуальным вопросом на сегодняшний день является решение задачи оптимального распределения ресурсов при эксплуатации авиационной техники. Однако в процессе управления проектами не учитывается тот фактор, что сетевая модель проекта – есть функция распределения ресурсов. При этом важнейшей задачей является не только составление оперативного календарного плана, но и возможность контроля его реализации. Большой интерес представляют задачи на быстродействие при ограниченных ресурсах, одновременно назначенных на выполнение работ при заданных директивных сроках.

Пусть задан комплекс работ в виде сетевой модели (M, N), где  и  – множество событий и множество работ сетевого графа, соответственно, причем каждому событию zi поставлено в соответствие время его наступления ti (i=0,1,…,n). При этом задано время начала выполнения проекта  и директивный срок его , причем каждой работе li поставлены в соответствие  и  – время начала и окончания выполнения работы lj, (j=1,2,…,m). Если дуга lj соединяет вершины  и , то должно выполняться следующее неравенство:

                                          , j=1,2,…,m.                                      (1)

Будем считать, что количество одновременно задействованных на выполнение работ проекта ресурсов не может превышать некоторой величины с. Пусть в момент времени  на работу lj выделено ui(t) единиц ресурса (j=1,2,…,m), где ui(t) – кусочно-непрерывные функции.

Плотность поступления ресурсов определяется выражением [2]:

                                         ,                                     (2)

при этом должны выполняться условия:

                                                                                        (3)

Каждой работе lj соответствует монотонно убывающая функция зависимости объема работы от плотности поступления ресурсов Qj(ρj):

                                                     (4)

Таким образом, задача заключается в нахождении оптимального распределении ресурсов, минимизирующего время выполнения проекта, т.е. , при , в области ограничений (1) – (3) и (5) – (8):

                                                                                    (5)

                                                                                              (6)

                                                                        (7)

                                                                  (8)

Тогда для получения оптимального решения задачи , при tn-t0≤ψ, причем для любого оптимального решения u(t)≡c для всех t[tn,t0], за исключением, может быть, конечного числа точек, продолжительность выполнения проекта ψ рассчитывается по формуле [3]:

                                                                                 (9)

При этом гарантированное оптимальное решение поставленной задачи существует в случае, если  для всех [, j=1,2,…,m, за исключением, может быть, конечного числа точек,  j=1,2,…,m. Аналогично постановке задачи на быстродействие , при  в области ограничений (1) – (3) и (5) – (8), математическая постановка задачи на быстродействие при воздействии неопределенных факторов заключается в нахождении оптимального распределении ресурсов, минимизирующего время выполнения проекта, т.е. , при , записывается следующим образом:

                                                                                            (10)

                                                                                      (11)

                                                                              (12)

                                                                                                (13)

                                          (14)

                             ,                        (15)

                                (16)

Тогда гарантированное оптимальное решение поставленной задачи , при  существует в случае, если

                                     , .                               (17)

При этом для любого оптимального решения поставленной задачи при  для всех , за исключением, может быть, конечного числа точек, справедливо , .

Таким образом, рассмотренный подход к решению задачи быстродействия распределения ресурсов для случая работ с переменными объемами, зависящих от параметров неопределённых факторов, применим для случая, когда в проекте задействовано несколько видов ресурсов [3]. Полученные результаты найдут применение при диагностировании и прогнозировании состояния авиационной техники, планировании, сервисном обслуживании и эксплуатации сложных технических систем и комплексов.

 

Литература

 

1. Зырянов Ю.Т., Коновалов О.А., Малыков А.К. Система управления рациональным распределением ресурсов организационно-технической системы // Научный Вестник  МГТУ ГА. – 2011. – № 169. – С. 41-47.

2. Бурков В.Н., Горгидзе И.И., Новиков Д. А., Юсупов Б.С. Модели и механизмы распределения затрат и доходов в рыночной экономике. – М.: Препринт, 1996, 61 с.

3. Коновалов О.А., Сербулов Ю.С. Задача динамического распределения ресурсов с учетом неопределенных факторов в сложных технических системах // Сборник материалов всероссийской конференции с элементами научной школы для молодежи «Математическое моделирование в технике и  технологии», 21 октября 2011 г. – Воронеж: Изд-во «Научная книга», 2011. – С. 200-204.