О предельном состояние пространственного слоя из идеальнопластического материала при трансляционной анизотропии, сжатого параллельными шероховатыми плитами

Аннотация. В работе рассматривается предельное состояние слоя из идеальнопластического материала при трансляционной анизотропии, сжатого параллельными шероховатыми плитами при неколлинеарных направлениях касательных усилий. Используются статически определимые условия предельного состояния, обобщающее условие полной пластичности.

Ключевые слова: сжатие, слой, идеальная пластичность, трансляционная анизотропия.

Условие пластичности запишем в виде

, ,	(1)
, ,
, ,
, ,

где , ,… компоненты напряжений в декартовой системе координат xyz; - предел текучести на сдвиг; , , - направляющие косинусы, определяющие ориентацию третьего главного напряжения в пространстве x, y, z.

Соотношения (1) могут быть переписаны в виде

,	(2)
,
,

где .

.

(3)

Положим

,	(4)
,

где , - .

Из (3), (4) получим

.

(5)

Согласно (3), (5), имеем

	(6)

Из уравнений равновесия и соотношений (4)-(6) получим

,

(7)

Согласно (6), (7) найдем

,	(8)
,
,

где , , - определяются согласно (4), (5).

Рассмотрим слой пластического материала толщиной , предположим, что оси координат лежат в срединной плоскости . В дальнейшем перейдем к безразмерным величинам и отнесем все компоненты, имеющие размерности напряжения к величинам предела текучести , а линейные размеры к величине .

На верхней и нижней сторонах слоя, согласно (4), получим

,	(9)
.

Вектора касательных напряжений на верхней и нижней сторонах слоя будут иметь вид

,

(10)

где - единичные орты вдоль осей .

Величины результирующих касательных напряжений на верхней и на нижней сторонах слоя, согласно (9), (10), будут иметь вид

	(11)

где - безразмерные значения результирующих касательных напряжений на сторонах слоя, .

Угол между векторами согласно (9), (10) определяются из соотношения

(12)

Направления векторов определяются из соотношений

.

(13)

Величины определяются заданием величин .

Предположим, что на верхней и на нижней сторонах плиты достигаются предельные значения касательных напряжений Предположим, что вектор направлен вдоль оси .

, .

(14)

Вектор имеет вид

, .

(15)

Из (14), (15) следует

.

(16)

В рассматриваемом случае, согласно (13)-(16) имеет место

, , , .

(17)

Согласно (8), (17) получим

.

(18)

Переходя к переменным

, ,

(19)

Согласно (18), (19) будем иметь

.

(20)

Таким образом, согласно (20), возрастание давления происходит по линейному закону вдоль биссектрисы угла между направлениями , . Имеет место

, при ;	(21)
, при .

Для определения константы С, входящей в соотношения (8), воспользуемся предположением, что край плиты свободен от усилий. Положим среднее значение нормального напряжения по толщине слоя равно нулю:

(22)

Из (8), (18), (22) следует

.

(23)

Соотношения, определяющие кинематику пластического течения, могут быть записаны в виде [1]

	(24)
	(25)

где , … - компоненты скорости деформации.

Имеют место формулы Коши

, , , , ,

(26)

где , , - скорости перемещения.

Положим

,	(27)

где

Согласно (26), (27) получим

(28)

Используя (27), (28), выражение (24) перепишем:

	(29)

Из (29) найдем:

	(30)

где

, .

Таким образом, согласно (4)-(6), (27), (29) компоненты напряжений и скоростей деформации могут быть определены.

Предельная нагрузка зависит от характера деформирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ивлев, Д. Д. О статически определимых состояниях в теории трансляционной идеальнопластической анизотропии / Д. Д. Ивлев, А. В. Ковалев, С. В. Тихонов // Вестник Чув. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. – 2012. – № 1 (11). – С.101 – 105.

2. Максимова, Л. А. О предельном состоянии слоя, сжатого шероховатыми плитами / Л. А. Максимова // ПММ. – 2000. – Т. 64. Вып. 6. – С. 1099-1104.

3. Максимова, Л. А. О сжатии плиты из идеально пластического анизотропного материала / Л. А. Максимова // Проблемы механики. сб. статей к 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М. : Физматлит. – 2003. – С. 520-523.