Математика/ 5. Математическое моделирование

к.ф.-м.н. Мухамбетжанов А.Т., к.ф.-м.н. Искакова А.С.

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Казахстан

 

  Об одном примере численного моделирования решения линейных краевых задач в системе Matlab

 

Пусть Ω ограниченная область, принадлежащая  R  с гладкой границей ∂Ω. Рассмотрим задачу  

Lu = -u" + q(x)u = f(x),

                                                            (1)

где f(x) L2(Ω). Пусть -u"=v,  или в операторной  форме  A0u = v, где  оператор однозначно разрешим в пространстве  L2 (Ω)   с заданными краевыми условиями. Тогда уравнение (1) примет вид:

                                                (1’)

Теорема. Пусть для любого f(x) (1) имеет единст­венное решение и , причем оператор М, определенный по (1’), удовлетворяет условиям  , ,  причем справедливо неравенство cd >1. Тогда для любого  последовательность , определяемая по формулам  сходится к решению ω. уравнения (1’)  причем выполнены оценки ,  где   . При этом функция и = А-1ω будет решением задачи (1).

Пусть  Lu = f      при   , и(0) = и(1) = 0, где L - оператор, действующий следующим образом   В этом случае можно взять интегральный оператор А0 с ядром  G (x,t), где    G () - функция Грина задачи  ,    u(0) = u(1) = 0. Эта задача эффективно разрешима и G() выписываются явно:  

Пусть  . Рассмотрим задачу

Таким уравнением описывается, например, поперечный прогиб  балки под действием распределенной поперечный нагрузки ,  . Где балка имеет постоянную жесткость на изгиб и лежит на упругом основании, реакцию которого определяет слагаемое ,  на интервале .

          Если балка имеет на концах опоры, допускающие (в отличие от жесткого защемления) поворот ее поперечного сечения пропорциональный в этом сечении изгибающему моменту, то в этом случае граничные условия принимают следующий вид:    .

Из этих уравнений при   вытекают условия жесткого защемления, а при  и - шарнирного опирания. Введем оператор А0, следующим образом: обозначим

 = v,

или в операторной форме , где - оператор однозначно разрешим в пространстве  с заданными краевыми условиями.

Пусть n n-ное приближенное решение уравнения J(n)=0.

Выберем

Тогда

Полученные результаты численных расчетов в системе Matlab по некоторым значениям переменной х приведены ниже в таблицах 1-3.

 Из таблицы 1 имеем ,что абсалютная погрешность  приближенного значение (=1 и =0.5) в точке  х=0.25 уже  при n=2 равна 0.00002 , а относительная погрешность составляет не более чем 0.0011 или 0.11 процента.

Таблица 1 - Численный расчет при х=0.25

x

w_n

e

J_n

M w_n - f

u прибл.

f(x) =

 

0.25

1

0.5

3.645391

3.083496

 

-2.05566

 

1

-1.91631

 

0.101691

0.086016

-0.01778

 

 

2

-1.99767

 

0.002837

0.002399

-0.01853

 

 

3

-1.99993

 

7.91E-05

6.69E-05

-0.01855

 

 

4

-2

 

2.21E-06

1.87E-06

-0.01855

 

 

5

-2

 

6.16E-08

5.21E-08

-0.01855

 

u точн.

6

-2

 

1.72E-09

1.45E-09

-0.01855

 

-0.01855

7

-2

 

4.79E-11

4.05E-11

-0.01855

 

 

8

-2

 

1.34E-12

1.13E-12

-0.01855

 

 

9

-2

 

3.73E-14

3.15E-14

-0.01855

 

 

10

-2

 

0

0

-0.01855

 

 

Таблица 2- Численный расчет 1 при х=0.5

x

w_n

e

J_n

M w_n - f

u прибл.

f(x) =

 

0.5

1

0.5

2.580762

3.234375

 

-2.15625

 

1

-1.06461

 

0.804673

1.008468

-0.01386

 

 

2

-1.70835

 

0.250895

0.314437

-0.02224

 

 

3

-1.90906

 

0.078228

0.098041

-0.02486

 

 

4

-1.97165

 

0.024391

0.030569

-0.02567

 

 

5

-1.99116

 

0.007605

0.009531

-0.02593

 

u точн.

6

-1.99724

 

0.002371

0.002972

-0.02601

 

-0.02604

7

-1.99914

 

0.000739

0.000927

-0.02603

 

 

8

-1.99973

 

0.000231

0.000289

-0.02604

 

 

9

-1.99992

 

7.19E-05

9.01E-05

-0.02604

 

 

10

-1.99997

 

2.24E-05

2.81E-05

-0.02604

 

 

Таблица 3-Численный расчет х=0.75

x

w_n

e

J_n

M w_n - f

u прибл.

f(x) =

 

0.75

1

0,5

-1.41595

3.250488

 

-2.16699

 

1

-1.12393

 

-0.41349

0.949221

-0.01043

 

 

2

-1.74417

 

-0.12075

0.277196

-0.01618

 

 

3

-1.92529

 

-0.03526

0.080948

-0.01786

 

 

4

-1.97818

 

-0.0103

0.023639

-0.01835

 

 

5

-1.99363

 

-0.00301

0.006903

-0.0185

 

u точн.

6

-1.99814

 

-0.00088

0.002016

-0.01854

 

-0.01855

7

-1.99946

 

-0.00026

0.000589

-0.01855

 

 

8

-1.99984

 

-7.5E-05

0.000172

-0.01855

 

 

9

-1.99995

 

-2.2E-05

5.02E-05

-0.01855

 

 

10

-1.99999

 

-6.4E-06

1.47E-05

-0.01855

 

 

 

Литература:

1.     J. M. Ortega, Introduction to parallel and vector solution of linear systems, Plenum Press, New York, 1982.

2.     H. Trielel, Approximation nubers in function spaces and the distribution of eigenvalues of some fractal elliptic operators, J. Approximation Theory, 129 (2004), 1-27.