Экономические науки/8. Математические методы в экономике

Есеналиева М.К.

Тараз мемлекеттік университеті, Казахстан

Шектеулі ресурстарды тиімді үлестіру есебі

Экономикалық талдау тәжірибесінде сызықтық бағдарламалау класының есептері кеңінен үлестірілген. Бұл классқа оңтайландыру есептерін жатқызады, ондағы мақсаттық функция мен барлық шартты функционалдық тәуелділіктер сызықтық алгебралық қатынастарды құрайды. Осындай есептер теориясы сызықтық бағдарламалау (СБ) деп аталатын жалпылама атқа ие болды.

СБ есептерінің қойылуы мен рәсімделуінің мысалын қарастырайық. Сонымен қоса, цехта екі түрлі өнім шығару да көзделген. Алдымен келесі сұраққа жауап қарастырайық: өнімнің мүмкін болатын шығару көлемінің өлшемі неге байланысты? Екі өнімнің де шығарылуына әсер ететін әртүрлі факторлар жиыны бар екені түсінікті, олардың ең бастысын бірден атауға болады – құрылғымен жабдықталған жұмыс орындары мен материалдардың бар болуы.

Цехтың өндірістік аумағына тәуелді жұмыс орнының шектеулі саны мен қажетті өндірістік құрылғылардың саны, цехта бірнеше жұмысшы ғана жұмыс істей алатындығын білдіреді. Жұмыс уақытының айлық қоры сағатына 660 адам болсын, ал өнімнің бірінші түрінің бір бірлігін шығаруға кететін орташа жұмыс уақыты сағатына – 6 адам, екінші өнім бірлігіне кететіні сағатына - 10 адам.

Екінші фактор – қайта өңделетін материалдардың бар болуы. Мұнда материалдардың жалпы саны мен өнімнің әр түрінің бірлігіне кететін шығындарды білу қажет. Бірінші түрлі өнімді дайындау үшін, негізінен материалдың бір түрі - М1ғана керек, ал екінші түрлі өнімге – екі түрлі, сәйкесінше М1 және М2 (өзге материалдар аздан қажет болғандықтан, есепке алынбайды) керек.

Цехтың қарамағына ай сайын, 47 бірлік М1 материалы және 45 бірлік М2 материалы ұсынылады деп болжамдайық. Сонда, бірінші түрлі өнімнің бірлігіне кететін М1 материалының орташа шығыны 0,5 және 0,3 екінші түрлі өнім бірлігіне кететіні. Екінші түрлі өнімнің бірлігіне кететін М2 материалының шығыны 1,5 шамасын құрайды. Ыңғайлы болу үшін деректерді кестеде көрсетейік.

Кесте 1

Жоспарлау параметр	Жұмыс уақыты	Материал М1	Материал М2
Бірінші түрлі өнім	6	0,5	-
Екінші түрлі өнім	10	0,3	1,5
Жалпы саны	660	47	45

Ешқандай арнайы амалға жүгінбестен, жоспар құруға тырысайық. Мысалы, былай пайымдауға болады: екніші түрлі өнімнің бағасы жоғарырақ болғандықтан, оны мүмкіндігінше көп көлемде шығаруды жоспарлауға болады. Бастапқы деректерді талдай отырып, келесі қорытындыға келеміз, бұл өнімнің шектік шығарылымы 30 бірлікті құрайды. Одан көп шығару үшін М2 материалы жетіспейді (қолдағы М2 материалы 45 бірлік. Сонымен қоса, екінші түрлі өнім бірлігін шығару үшін 1,5 қажет, сонда шектік шығарылымы 45/1.5==30).

Өнімнің екінші түрінің 30 бірлігіне М1материалының 9 бірлігі кетеді (30*0,3 = 9). Қлағаны 38 бірлікті құрайды (47-9= 38), одан қосымша екінші түрлі өнімнің 76 бірлігін жасауға болады (38 : 0,5 = 76).

Екінші жағынан, екінші түрлі өнімнің 30 бірлігін дайындауға жұмыс уақытының 300 адам. сағ. кетеді. Қалған 360 адам.сағ. бірінші түрлі өнімнің тек 60 бірлігін және екінші түрлі өнімнің 30 бірлігін дайындауға жетеді. Сөйтіп, жұмыс уақыты М2 материалы толықтай қолданылатын болады, ал М1 материалының 60*0,5 + 30*0,3 = 39 бірлігі қажет болады. Екі түрлі өнімнің өндірілген санынан түсетін жалпы пайда 20 * 60 + 25 * 30 = 1950 ш.б.

Алдымен, есеп шарттарын формула түріне келтірейік. Бірінші түрлі өнімнің жоспарлы шығарылуын х₁ арқылы, ал екінші түрлі өнімді –х₂ арқылы белгілейік. Ары қарай жоспарлау мақсатын өрнектейміз Өнімге қойылған бағалар бойынша оны шығарудан түскен пайданы келесі түрде өрнектеуге болады:

С = 20х₁ +25х₂ (1)

Сонымен, біздің іздеу мақсатымыз – С мүмкіндігінше ең үлкен мәнге ие болатындай, бірінші түрлі өнімді х₁ шығару көлемі мен екінші түрлі өнімді х₂ шығару көлемінің үйлесімін табу керек.

х₁ және х₂ айнымалыларының мәндерін таңдауға математикалық түрде шектеулер қоямыз, олар өндірістік шарттармен байланысты болу керек. Екі түрлі өнімнің жоспарланған көлемін шығаруға кететін жұмыс уақытына деген қажеттілік келесі теңсіздік арқылы өрнектеледі:

6х₁ +10х₂ ≤ 660 (2)

Дәл осылай, М1 және М2 материалдарының қолдағы бар санына қатысты екі шектеуді де өрнектеуге болады. Нәтижесінде келесі теңсіздіктер жүйесін аламыз:

6х₁ +10х₂ ≤ 660

0,5х₁ +0,3х₂ ≤ 47 (3)

1,5х₂ ≤ 45

Математикалық көзқарас тұрғысынан тағы бір шектеу қоюымыз керек - х₁ және х₂ мәндерінің теріс болмауы, ол келесі түрде болады:

х₁ ≥ 0

х₂ ≥ 0 (4)

Бұл шарт айдан-анық. Себебі шынайы өнімнің шығарылымы тек оң сан ғана бола алады, не нөлге тең болады, бірақ ешуақытта теріс сан бола алмайды. Жоспар варианттарын таңдауға қойылған жоспарлау шарттары мен шектеулерді біріктіріп, келесі түрдегі есептің қойылуын аламыз:

С = 20х₁ +25х₂ → max

x₁, x₂

шарттары:

6х₁ +10х₂ ≤ 660

0,5х₁ +0,3х₂ ≤ 47 (5)

1,5х₂ ≤ 45

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0

Берілген есепті М1 және М2 материалдары түріндегі ресурстарды, ресурстық шектеулер қойылған өнімді шығаруға қатысты оңтайлы үлестіру есебі ретінде түсіндіруге болады. Жалпы жағдайда, m түрлі шикізаттан, n түрлі өнім шығарылатыны жоспарланып отыр деп болжамдайық, ал шикізаттың әрбір түрі бойынша қолдағы бар шикізат қорының саны b_i , i=1,2,…,m. Өнімнің әрбір түріне кететін шикізаттың әрбір түрінің шығыс көлемі a_ij , i=1,2,…,m , j= 1,2,…n. Өнімнің әрбір түрінің құны С_j , j= 1,2,…n шамасымен анықталады.

Берілген есептегі ресурстық шектеулер, оң жағы нөл болатын теңдеу түрінде де берілуі мүмкін екенін ескерту қажет. Шектеудің аралас типі бар есептің қойылуы да мүмкін, олардың бір бөлігі теңдеулер түрінде, ал екіншісі – теңсіздіктер түрінде өрнектелетін болады. Алайда, көрсетілген түрлендірулердің түбегейлі мәні жоқ, себебі сызықтық теңсіздіктерге қосымша айнымалы енгізу арқылы, оларды теңдеуге оңай түрлендіруге болады.

Қолданған әдебиеттер тізімі

Химельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. –М.: Мир, 1975г., 354с.

Базара М., Шетти К. Нелинейное програмирование, теория и алгоритмы. –М.: Мир, 1982г. 583с.

Реклеитес Г., Реивиндром А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике в 2-х кн. –М.: Мир, 1986.

Шуп, Терри Е. Решение инженерных задач на ЭВМ., –М.: Мир, 1982г. 235с.

Банди Б. Методы оптимизации, вводный курс, –М.: Радио и связь, 1980г., 128с.