Мельник В.Н., Карачун В.В.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

АНАЛИТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ УПРУГИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПОПЛАВКА В ЗВУКОВЫХ ПОЛЯХ

Исходим из того, что края поплавка (z=0, z=1) свободны от закреплений. Это, как будет видно из дальнейшего, значительно усложняет математический аппарат.

Итак, решения ищем в виде

где

Из каких соображений следует исходить при выборе пар чисел и , и , и .

Рассмотрим первую пару. Функции параметра z должны удовлетворять граничным условиям на краях поплавкового подвеса гироскопа, т.е. при и . В свою очередь, дифференциальные операторы, которые входят в граничные условия, имеют по параметру z наивысший порядок равный единице.

Значит следует положить

Тогда

Если проанализировать остальные граничные условия, то видно, что наивысший порядок дифференциальных операторов равен трем. Значит, следует принять и записать

Легко проверить, что эти аппроксимации одновременно удовлетворяют всем граничным условиям. Но обнаруживается их общий принципиальный недостаток: при перемещения на краях равны нулю, то есть свободны от закреплений, а это противоречит изначальным предпосылкам. Значит надо искать функции Кравчука другого типа.

Главное требование к аналитическому представлению функций состоит в том, чтобы на отрезке они были бы полными и линейно независимыми. Кроме того, можно потребовать и их ортогональности. В свете этих предпосылок рассмотрим такую аппроксимацию:

для и

Для определения функций , запишем аппроксимации в более общем виде:

(1)

где корректирующие функции, функции Кравчука, которые надо будет соответствующим образом подобрать.

Как и в предыдущем случае, формулы запишем в виде:

(2)

где

(3)

Возникает вопрос, каким граничным условиям должны удовлетворять функции , а отсюда, следовательно, и представить их в явном виде. С этой целью граничные условия удобно записать через линейный оператор.