УДК 621.924

К.т.н., доцент В.П.Пасько, магистрант Р.В.Красничук

Национальный технический университет Украины «КПІ»,

Украина

ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ ПРИ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ЗАДАНИИ ШУМОВ

Аннотация: Алгоритм оптимальной линейной фильтрации стохастических распределенных объектов распространен на случай непараметрического задания шумов объекта и измерителя.

Ключевые слова: дискретный во времени стохастический распределенный объект, матрица ковариации шумов, оценивание состояния, коэффициент усиления фильтра, матрица ковариации

Введение

Основные результаты оценивания состояния и параметров объектов с распределенными параметрами с помощью фильтра Калмана получены для некоррелированных белых гауссовских шумов на основе байесовского подхода, метода наименьших квадратов и на основе уравнения Винера-Хопфа. В [3] полученные результаты распространяются на случай коррелированных по пространственным координатам шумов непрерывного во времени динамического объекта и измерителя. В случае цветных шумов измерительного устройства результаты получены на основе т еоремы обучения и теоремы Шермана.

В данной работе на основе условно оптимального подхода предлагается процедура синтеза фильтра, формирующая несмещенную оценку вектора состояния при непараметрическом задании шумов измерителя объекта и измерителя. В полученном фильтре матрицы ковариации шумов учитываются при вычислении матричного коэффициента усиления и матрицы ковариации ошибки оценивания.

Постановка задачи

Рассмотрим синтез алгоритма оценивания состояния дискретного во времени стохастического распределенного объекта, описываемого уравнением:

(1)

с граничными и начальными условиями вида:

, (2)

где – вектор пространственных координат; – дискретное время; n-мерный вектор состояния системы; – p-мерный случайный процесс; – матрица интенсивности шума объекта размерности (n×p); и – матричные линейные дифференциальные операторы размерности (n×n), параметры которых могут быть функциями x и/или t; – открытое множество в r-мерном евклидовом пространстве с границей .

Будем считать также, что и – случайные процессы с нормальным распределением и известными характеристиками:

, ,
, (3)

где — оператор математического ожидания; — символ Кронекера; — неотрицательно определенная матрица интенсивности шума размерности (p×p).

Из-за технических ограничений вектор состояния системы доступен только в дискретных точках . В этом случае процесс измерения описывается уравнением:

, (4)

где Z -мерный вектор наблюдений, -мерный вектор состояния в точках измерения, H -мерная известная матрица шумов измерителя, – случайный процесс с нормальным распределением и матрицей ковариации:

. (5)

Алгоритмы оптимальной калмановской фильтрации стохастических распределенных объектов очень чувствительны к нарушениям предположения о гауссовских распределениях шумов объекта и измерителя, которые очень часто возникают на практике. Такие нарушения возникают, например, практически во всех электронных и механических измерительных устройствах. Статистические исследования объектов различного типа показывают, что отсутствие в фильтрах автокорреляционных функций цветных шумов существенно снижают точность оценивания при использовании алгоритмов оптимальной фильтрации.

В данной статье предлагается решение задачи фильтрации дискретных во времени стохастических распределенных объектов для случая, когда шумы объекта и измерителя имеют автокорреляционные функции вида:

(1)

(2)

Процессы и статически независимы между собой и коррелированы во времени с начальным состоянием объекта:

(3)

. (4)

Обозначим:

(5)

(6)

Рассмотрим случай, когда корреляционные функции ,
затухают с увеличением времени , что дает возможность ограничить их моментами времени и , для которых

при

при .

Необходимо синтезировать алгоритм фильтрации для оценивания вектора состояния по результатам измерений и априорным усеченным дискретным корреляционным функциям (1) - (4), обеспечивающий минимальную дисперсию ошибки оценивания в классе линейных алгоритмов фильтрации.

Для синтеза фильтра используем условно оптимальный подход, который предусматривает параметрический синтез фильтра при априорно выбранной структуре. Структуру фильтра определим в виде:

(7)

где ависит от корреляционных свойств шумов объекта и измерителя. Вычитывая из (1) уравнение (7), получаем рекуррентное выражение для ошибки оценивания в виде:

+ (8)

+ )

Полученное выражение представляет собой уравнение линейного дискретного во времени СРО, возбуждаемого суперпозицией дискретных гауссовских процессов. Уравнение для матрицы ковариации ошибки оценивания получаем из (8) с учетом корреляционных свойств шумов (1).

Имеем:

(9)

(10)

где

Уравнения для
определяем из (5) – (8) в виде:

(11)

c начальными условиями

Коэффициент усиления фильтра для оценивания состояния объекта определяется на основе уравнения Винера-Хопфа для дискретных во времени СРО [3]:

(14)

Таким образом, на основе условно оптимального подхода получена модификация линейного фильтра Калмана для оценивания состояния линейных дискретных во времени СРО. Разработанный фильтр позволяет повысить точность вектора состояния объекта путем учета корреляционных во времени свойств шумов объекта и измерителя.

Как видно из уравнений (7) – (14), структура полученного алгоритма фильтра идентична структуре фильтра для линейных дискретных во времени СРО [3]. Если положить и при равными нулю, то уравнения фильтра преобразовываются в обычное уравнение фильтра при некоррелированных шумах объекта и измерителя.

Литература

1. Watanabe K., Yoshimura T., Soeda T. A discrete-time adaptive filter for stochastic distributed-parameter systems. – Trans ASME, 1981, 103, № 2,
pp. 266-278.

2. Ucinski D. Optimal Measurement Methods for Distributed-Parameter System Identification. – Boca Raton, FL: CRS Press, 2005.

3. Корбич Ю.С., Пасько В.П. Оптимальный фильтр для оценивания состояния линейных систем с распределенными параметрами по дискретным измерениям при коррелированных шумах. – Автоматика, 1986, № 2, с. 24-31.

К.т.н., доцент В.П.Пасько, магистрант Р.В. Красничук

Национальный технический университет Украины «КПИ»,

Украина

Пасько Виктор Петрович, Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт», кафедра технической кибернетики, кандидат технических наук, доцент, тел. 050-216-32-98, vppasko@ukr.net.

Красничук Руслан Витальевич, Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт», магистрант, тел. 093-421-76-28, krasnychukruslan@gmail.com.