Аспирант кафедры математического анализа Кержаев А. П.

Чувашский государственный педагогический университет

им. И. Я. Яковлева, Россия

Напряженное состояние анизотропной пластической пластины с круговым отверстием при обобщении условия

пластичности Мизеса

 

Рассмотрим тонкую пластину из идеальнопластического анизотропного материала, ослабленную круговым отверстием радиуса . Введем цилиндрическую систему координат Пластина находится под действием внутреннего давления q.

Условие пластичности в случае трансляционной идеальнопластической анизотропии примем в виде

               (1)

где  – компоненты напряжения в цилиндрической системе координат.

Предположим, что

                                                                                                (2)

С учетом (2)  условие пластичности (1) в полярной системе координат запишется в виде

                                      (3)

где

             

Решение будем искать в виде разложения по малому безразмерному параметру :

                                  (4)

Индекс «0» наверху приписан компонентам в нулевом исходном состоянии при .

В нулевом исходном осесимметричном состоянии положим

                                                                                                                (5)

В нулевом исходном приближении согласно (3), (4), (5) имеет место

                                                                                (6)

Условие пластичности (6) удовлетворим согласно [2], полагая

                                                                                          (7)

В нулевом приближении уравнение равновесия имеет вид

                                                                                        (8)

Из (7), (8) следует

                                                                                    (9)

Решение уравнения (9)

                                                  

где C – произвольная постоянная.

Контурное значение  связано с нормальным давлением q следующим образом:

где

Определяя произвольную постоянную C из условия  на внутренней контурной окружности , получим

                                                                                         (10)

Построенное решение выражено через параметр , интервалы изменения которого должны быть выбраны так, чтобы производная

                                               

которая на внутреннем контуре  равна

                                            

сохраняла свой знак во всей рассматриваемой области. Это будет иметь место при значениях , удовлетворяющих неравенствам

                                                                                                                 

В первом приближении согласно (3), (4), (7) имеет место условие пластичности

              (11)

где

                                                

Положим, что  Тогда в первом приближении получим уравнение равновесия

                                                                                      (12)

Из (9), (11), (12) получим дифференциальное уравнение

                                              (13)

Решение уравнения (13) имеет вид

                                                  (14)

Находя произвольную постоянную  из граничного условия  при , получим

       (15)

Таким образом, напряженное состояние в пластической области полностью определено.

 

Литература:

 

1. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. – М. : Наука, 1978. – 208 с.

2. Соколовский, В. В. Теория пластичности  / В. В. Соколовский. – М. : Высшая школа, 1969. – 608 с.