Математика/ 5. Математичне моделювання

К. фіз.-мат. наук Готинчан І.З.

Чернівецький торговельно-економічний інститут

Київського національного торговельно-економічного університету, Україна

ОДНА ЗАДАЧА МОДЕЛЮВАННЯ ДИФУЗІЙНИХ ПРОЦЕСІВ В НЕОДНОРІДНИХ СЕРЕДОВИЩАХ З М’ЯКИМИ МЕЖАМИ

Моделювання процесів дифузії неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Фур’є – Фур’є – Лежандра на декартовій вісі приводить до побудови обмеженого в області розв’язку сепарат-ної системи диференціальних рівнянь теплопровідності параболічного типу [1]

(1)

за початковими умовами

(2)

та умовами спряження

(3)

Ми припустимо, що:

1) функції та є оригіналами за Лапласом стосовно [2];

2) виконані умови на коефіцієнти:

3) - узагальнений диференціальний оператор Лежандра [3]:

,

У зображенні за Лапласом параболічній задачі (1)-(3) відповідає крайова задача: побудувати на множині розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь Фур’є та Лежандра для модифікованих функцій

(4)

за умовами спряження

(5)

У рівностях (4), (5) прийняті позначення:

;

Фундаментальну систему розв’язків для рівняння Лежандра утворюють модифіковані приєднані функції Лежандра та [6], а фундаментальну систему розв’язків для рівняння Фур’є утворюють функції та [4].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової задачі (4), (5) методом функцій Коші [4, 5]:

(6)

У рівностях (6) беруть участь функції Коші [4,5]:

(7)

(8)

(9)

У рівностях (7) – (9) беруть участь функції:

У мови спряження (5) для визначення величин дають алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:

(10)

У системі (10) беруть участь символ Кронекера та функції

Визначимо функції:

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної крайової задачі: для із де - абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та визначник алгебраїчної системи (10)

(11)

Введемо до розгляду головні розв’язки крайової задачі (4), (5):

1) Породженні неоднорідністю умов спряження функцій Гріна

(12)

2) породжені неоднорідністю системи (4) функції впливу

(13)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (10) та підстановки обчислених значень у формули (6) отримуємо після низки елементарних перетворень єдиний розв’язок крайової задачі (4), (5):

(14)

Повертаючись у рівностях (14) до оригіналу, одержуємо єдиний розв’язок параболічної задачі (1) –(3):

(15)

- дельта-функція, зосереджена в точці

У рівностях (15) за означенням [5]

(16)

(17)

Особливими точками функції Гріна та функцій впливу є точки розгалуження та точка розгалуження . Оскільки то всі особливі точки знаходяться на лівій піввісі Це дає можливість «сісти на уявну вісь» й одержати такі структури головних розв’язків даної задачі теплопровідності:

(18)

(19)

Тут означає дійсну частину виразу (…).

Зауваження 1. Можна вважати, що В протилежному випадку переходимо до нових початкових умов й вибираємо числа та із алгебраїчної системи

(20)

Тут При виконанні умов на коефіцієнти алгебраїчна система (20) завжди сумісна.

Зауваження 2. Вибором параметрів, які беруть участь у формуванні даної задачі дифузії, можна із загальних структур виділити безпосередньо в рамках даної моделі будь-який частковий (практично важливий) випадок.

Література:

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. - 735 с.

2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.

3. Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера - Фока. – Чернівці: Прут, 2002. – 248 с.

4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1966. – 328 с.