Мельник В.Н., Карачун В.В.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

ВЫБОР АНАЛИТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ ЛИНИИ МЕРИДИАНА ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ

Рассмотрим следующие типы оболочек вращения: выпуклая (рис.1, а) и вогнутая относительно оси вращения (рис.1, в). В обоих случаях предполагается, что ОD=BA=R, а кривая f(z), образующая оболочку вращения, симметрична относительно прямой СМ, которая пересекает ось вращения в середине (ОВ=l; OC=CB=). Считаем также, что

(1)

Рассмотрим систему координат C₁z₁r₁ (рис.1). Связь между этой системой и опорной Ozr определяется соотношениями –

r=r₁+R; z=z₁+.

В системе отсчета C₁ z₁ r₁ форму оболочки (линию меридиана) зададим выражением

(2)

причем знак «+» соответствует случаю рис. 1, а, а знак «-» - случаю рис. 1 в.

Установим класс кривых f₁(z₁), для которых выполняются условия:

-

-

- функции строго выпуклые, а функции - строго вогнутые;

- точка с координатой z₁=0 является точкой экстремума для функций

- функция f₁(z₁) считаем убывающей (рис. 1, а) и возрастающей при (рис.1, в).

Рассмотрим пример . Пусть

F₁(z₁)=a₂-a₀z₁² , a₂>0 ; a₀>0 .

Очевидно, что f₁(-z₁)=f₁(z₁) .

Тогда, в соответствии с рис. 1, имеем:

Отсюда определяем коэффициент а₂ –

С учетом этого, можно записать:

(3)

Обозначим величину подъема этой параболы С₁К в точке z₁ = 0 через δ (рис. 1 , а) . Тогда

В этом случае можно записать:

(4)

Представим уравнение линии меридиана оболочки в опорной системе координат Ozr. Имеем:

(5)

Или так:

(6)

(7)

(8)

(9)

Рассмотрим другой пример. Пусть

Тогда:

Как и ранее считаем, что и соответствует максимальному отклонению линии меридиана от вертикальной прямой r = R. Тогда,

(10)

Отсюда следует, что

и тем самым, постоянные Ламе определяются соотношениями-

(11)

Остается вычислить радиусы кривизны.