УДК 62-501.12

И.В. Ананченко, А.А. Мусаев

Формализация процесса управления активами

на электронных рынках капитала

Аннотация. Статья носит научно-методический характер и посвящена формализованной постановке задачи оценивания торговой ситуации на рынках капитала в интересах проведения эффективных торговых операций

1. Введение. Как показывают статистические обзоры, 75 до 95% игроков на электронных биржах завершают свои торговые операции полной потерей имеющихся депозитов. Причины неудач связаны с крайне высоким уровнем неопределенности среды погружения (среды взаимодействия), в которой функционируют указанные рынки и в которой осуществляются торговые операции. По существу, речь идет о непрерывном нелинейном многофакторном воздействии, причем сами факторы влияния взаимосвязаны, а степень их взаимосвязанности и характер воздействия на торговые активы непрерывно меняются во времени.

Котировки рыночных активов представляют собой результат групповой ментальной оценки и представляют собой безынерционный стохастический процесс с элементами хаотической динамики. Наличие хаотической составляющей в процессе изменения котировок торговых активов приводит к низкой эффективности прогноза развития торговой ситуации и, как следствие, к низкой эффективности формируемых торговых решений.

Естественное требование повышения качества управления торговыми операциями приводит к необходимости формализации процесса анализа торговой ситуации, учитывающей специфику динамики ценообразования активов и позволяющей построить теоретическую платформу для применения и, при необходимости, модификации современных математических технологий. Методическим аспектам этой задачи и посвящена настоящая статья.

2. Моделирование процессов изменения состояния рынка на основе концепции пространства состояний. Рассмотрим модель объекта анализа (рынка), как алгебраическую структуру . Здесь текущее состояние рынка описывается вектором , входные воздействия (в том числе управления и возмущения) - вектором , выходные - вектором . Объекта анализа погружен в некоторую среду погружения (media), с которой он находится в непрерывном или дискретном взаимодействии. В общем случае данная среда является активной, неоднородной и нестационарной. Простейшая кибернетическая модель среды погружения представляет собой объект, допускающий описание, аналогичное выше приведенному, т.е. . Неучтенные факторы разбиваются на три категории:

известные факторы , непосредственно влияющие на состояние объекта анализа, но не учитываемые в модели взаимодействия, исходя из априорных представлений аналитика об их малой значимости на качество решаемых ею задач;

факторы , косвенно влияющие на объект анализа через среду взаимодействия, с которой этот объект взаимодействует и неучтенные в модели в силу отсутствия априорных представлений об их значимости и характере влияния;

факторы , неизвестные составителю модели торговой ситуации.

Следует сделать два замечания:

1. В задачах, связанных с описаниями торговых ситуаций неметрического характера, иногда пользуются методологией анализа, основанной на теории нечетких множеств (fuzzy sets) [4];

2. Как уже отмечалось в данной главе, генезис неопределенности, помимо недостаточной информированности разработчика модели, в существенной степени расширяется в результате неустойчивости нелинейных динамических систем в так называемых точках бифуркаций интегральных кривых [12, 16].

Рассмотренная выше модель объекта анализа может быть полезна с точки зрения исследования его взаимодействия со средой погружения. Однако в контексте функционального управления торговыми операциями, объект анализа представляет собой динамическую систему, состояние которой непрерывно изменяется во времени. В связи с этим эффективное управление активами возможно лишь при использовании динамических моделей торговой ситуации, отражающих совместную эволюцию состояния объекта анализа и среды погружения. Математическое описание, в соответствие с которым эволюция состояния объекта анализа , в общем случае, определяется нелинейным дифференциальным уравнением вида [2]

(1)

или, при наличии опорных значений , отвечающих номинальным или среднестатистическим значениям состояния, линеаризованной моделью эволюции вида

(2)

где - известные матрицы размера , – вектор шумов системы, определяемый влиянием множества неизвестных или неточно известных факторов, воздействующих на объекта анализа и приводящих к ошибкам моделирования. Типичными (хотя и не всегда верными) предположениями относительно вероятностной природы , является утверждение об их гауссовости, стационарности и независимости [2, 6], то есть . Здесь - корреляционная матрица шумов системы, - функция, принимающая значение 1 при и равная нулю в остальных случаях.

В качестве простейшей модели наблюдений (как правило, дискретной) обычно используется схема прямых наблюдений или линеаризованное отображение косвенных наблюдений

, (3)

где – погрешность наблюдений.

В соответствии со спецификой технического анализа, основными исходными данными для формирования торговых решений являются данные мониторинга и массивы ретроспективных наблюдений за состояниями объекта анализа и средой погружения . Качество анализа данных, в соответствии с общими принципами системной квалиметрии [3, 9], должно определяться, исходя из требований иерархически вышестоящей системы, в интересах которой он применяется - системы подготовки принятия решений (СППР, DSS, decision support system). Основной задачей при формировании торгового решения (или при выборе торгового решения из множества допустимых торговых решений ) является достижение наибольшего экономического эффекта. Пусть указанный эффект измеряется с помощью некоторого количественного показателя качества . В общем случае данный показатель носит вероятностный характер. В частности, в роли показателя качества можно использовать эффективность торговых решений, характеризуемая вероятностью выполнения априорно поставленных торговых задач.

Качество принимаемых торговых решений непосредственно зависит от значений частных показателей качества вскрытия анализируемой торговой ситуации . В некоторых случаях допускается искать условно-оптимальное торговое решение, обеспечивающее достижение экстремального значения лишь одного из этих показателей, принятого за главный. При этом поиск экстремума осуществляется в области допустимых значений, определяемой совокупностью априорных ограничений, накладываемых на оставшиеся показатели. Например, требуется максимизировать уровень получаемой прибыли при условии, что торговые расходы не превысят допустимого уровня затрат , а торговый риск не превышал бы некоторого критического значения .

3. Элементы теории статистического синтеза торговых решений. Традиционный подход. Как уже отмечалось, характерной чертой любых открытых систем, в том числе и систем управления торговыми операциями, является наличие случайных входных воздействий. Задача состоит в том, чтобы в указанных условиях сформировать эффективное торговое решение.

Самый распространенный способ упорядочения множества стратегий требует задания функции потерь , осуществляющей отображение где - положительная полуось вещественной оси R, имеющая смысл ущерба от принятия торгового решения на основе оценки в условиях, когда истинное состояние торговой среды описывается векторным параметром .

В задачах оценивания в качестве функции потерь часто используют полный квадрат ошибки

(4)

т.е. квадрат евклидова расстояния между и . Иногда (4) усложняют и рассматривают где выбирается из условия конкретной задачи.

Каждой торговой стратегии S ставится в соответствие средний ущерб, или риск , где - символ математического ожидания. В случае точечного оценивания вектора состояния торговой ситуации по независимой выборке наблюдений с плотностью распределения , средний ущерб от выбранного торгового решения будет иметь вид

Для (4) риск называется средним квадратом ошибки и имеет вид

,

где - дисперсия .

4. Формализованная постановка задачи анализа состояния рынка. Принятие торговых решений, в соответствии с общей теорией статистических решений, представляет собой процедуру выбора решения из пространства на основе результатов наблюдений за состоянием интересующей нас торговой ситуации, описываемой параметрами из пространства . В реальной обстановке векторный параметр часто не может наблюдаться непосредственно и суждение о нем выносится на основе технически доступных наблюдений , функционально связанных с . Иными словами в распоряжении инвестора или трейдера обычно имеются лишь косвенные наблюдения, функционально связанные с исследуемой торговой ситуацией.

В качестве примера рассмотрим процесс идентификации и прогнозирования фазовой траектории состояния актива в визуализируемой системе координат «прибыль – риск R– время T» по данным наблюдений. Торговая ситуация параметрически описывается соответствующими оценками указанных параметров . В некоторых случаях, в частности, для формирования прогнозов изменения торговой ситуации, в число оцениваемых параметров включают оценки скорости и ускорения изменения ожидаемой прибыли и меры риска. Тогда вектора оцениваемых параметров фазовой траектории на момент времени будет иметь вид . Однако непосредственно измерить эти значения нельзя (кроме времени), наблюдения в этом случае представляют собой измерения каких-то иных эконометрических, политических, социальных и иных параметров, совокупность которых определяет динамику ожидаемой прибыли и риска.

Наличие возмущающих воздействий, оказываемых средой взаимодействия на любую реальную торговую ситуацию, приводит к тому, что имеющиеся наблюдения практически всегда содержат, как уже отмечалось, вероятностную составляющую. При этом связь наблюдений вектором параметров может быть задана с помощью некоторого, в общем случае нелинейного оператора

Выбор торгового решения осуществляется на основе наблюдений и априорной информации, имеющейся в распоряжении инвестора. Таким образом, процедура принятия торгового решения, формирование которой является основным предметом статистического синтеза, может быть записана в виде оператора

В идеальном случае, оператор выполняет функцию обращения . Причем качество реализации этого обращения в значительной степени зависит от наличия и достоверности априорной информации. Недостаток того или иного объема достоверной априорной и текущей информации о торговой ситуации задает уровень неопределенности, при которой принимается торговое решение.

Наиболее полным уровнем априорной информации является наличие вероятностного описания пространств и с помощью априорного распределения и семейства распределений для всех . В этом случае торговое решение выбирается в соответствии с байесовским упорядочением стратегий:

для ,

причем правило предпочтения строится на основе байесовского риска

=

Подобный подход обеспечивает наиболее эффективное торговое решение. Однако в большинстве практических ситуаций априорной информации недостаточно для задания . Тогда переходят к стратегиям, не использующим информацию об , т.е. способным обеспечить рациональное торговое решение в условиях более высокого уровня априорной неопределенности.

В качестве известного подхода к поиску решений при известной функции распределения наблюдений с плотностью можно назвать метод максимального правдоподобия (ММП) [6]. Идея метода сводится к нахождению торгового решения, минимизирующего функцию правдоподобия

(5)

где , - наблюдения, полученные в результате измерений.

Известно [7, 14], что такое решение является наилучшим с точки зрения минимизации дисперсии оценки и отыскивается путем численного решения системы уравнений правдоподобия

(6)

где - градиент функции правдоподобия по .

В некоторых случаях торговое решение на основе (6) может быть получено в явном виде. В качестве примера рассмотрим описанную в этой главе схему определения параметров фазовой траектории "прибыль – риск – время" по данным наблюдений z, связанных с ними линейной моделью вида где – градиентная матрица, – вектор аддитивных погрешностей наблюдений.

Предположим, что значения подчинены центрированному нормальному закону распределения с дисперсией . Тогда, в соответствии с (5), искомое торговое решение будет представлять собой аргумент, минимизирующий значение функционала

. (7)

Построение статистических оценок, обеспечивающих минимимум выражения (7), основано на известном методе наименьших квадратов (МНК) [2, 6, 7]. При этом выражение (6) образует так называемую систему нормальных уравнений, решение которой приводит к явному выражению для МНК оценки, минимизирующей (7):

(8)

В ситуациях, когда измерения являются неравноточными с дисперсиями , в выражение (8) входит диагональная весовая матрица :

В некоторых случаях при определении параметров фазовых траекторий имеют не линейную, а лишь линеаризованную зависимость между измерениями и оцениваемыми параметрами. В результате оценка находится итерационно причем в качестве исходных данных выступают невязки между данными, соответствующими опорной фазовой траектории, полученной в результате прогнозирования (экстраполяции), и реальными данными, полученными в результате оперативного мониторинга ситуации. При этом оценивается не сам вектор , а вектор поправок к начальному приближению

Естественно полагать, что чем больше достоверной априорной информации о торговой ситуации используется процедурой анализа данных, тем выше качество найденного торгового решения. В этом смысле байесовские оценки и оценки по ММП являются наилучшими. На практике, требования к априорному знанию распределения во многих случаях, связанных с мониторингом торговых ситуаций, являются невыполнимыми. Один из путей реализации такого направления основан на применении адаптивных методов, позволяющих перестраивать структуру процедуры анализа и системы формирования торговых решений, или подбирать их числовые параметры в соответствии с изменениями, происходящими в среде погружения и в самом объекте анализа. В качестве альтернативы к адаптивному подходу следует указать на робастные методы статистического синтеза решений, обладающие повышенной устойчивостью к нарушениям адекватности между априорной вероятностной моделью наблюдений и их реальными свойствами [8, 17]. Минимаксный подход является одним из немногих методов, обеспечивающих в условиях неопределенности строгий математический результат [17].

6. Заключение. Настоящая статья представляет собой математическое введение в задачу формализованного анализа торговых стратегий, функционирующих в условиях хаотической динамики, и носит научно-методический характер. В качестве теоретической платформы для моделирования процессов изменения состояния рынка использовались калмановская концепция пространства состояний и теория статистического оценивания.

Литература

1. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ / Пер. с англ. под ред. Б.В. Гнеденко. М.: Физматгиз, 1963. 500с.

2. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления / Пер. с англ. под ред. А.М. Летова. М.: Мир, 1972. 544с.

3. Вознюк М.А., Мусаев А.А., Елшин А.А. Теоретические основы квалиметрии информационных систем. СПб: Военная академия связи, 1999. 107с.

4. Заде Л. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений // Математика сегодня. М.: Знание, 1974. С. 5–48.

5. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974. 119с.

6. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление / Пер. с англ. под ред. Я.З. Цыпкина. М.: Наука, 1966. 176с.

7. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М.: Физматгиз, 1958. 349с.

8. Макшанов А.В., Мусаев А.А. Робастные методы обработки результатов измерений. Л.: МО СССР, 1980. 144с.

9. Морозов Л.М., Петухов Г.Б., Сидоров В.Н. Методологические основы теории эффективности: Учебное пособие. Л.: ВИКИ им. А. Ф. Можайского, 1982. 236с.

10. Мусаев А.А. Quod est veritas. Трансформация взглядов на системную составляющую наблюдаемого процесса // Труды СПИИРАН. 2010. Вып. 15. С. 53–74.

11. Мусаев А.А., Барласов И.А. Анализ динамических характеристик состояния рынка ценных бумаг // Труды СПИИРАН. Вып. 6. 2008. С. 150–160.

12. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных структурах: От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации / Пер. с англ. М.: Мир, 1979. 512с.

13. Петерс Э. Хаос и порядок на рынке капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены, и изменчивость рынка / Пер. с англ. под ред. А.Н. Романова. М.: Мир, 2000. 334с.

14. Рао С.Р. Линейные статистические методы / Пер. с англ. под ред. Ю.В. Линника. М.: Наука, 1968. 548с.

15. Фогель Л., Оуэнс А., Уолш М. Искусственный интеллект и эволюционное моделирование / Пер. в англ. под ред. А. Г. Ивахненко. М.: Мир, 1969. 230с.

16. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах / Пер. с англ. под ред. Ю.А. Данилова. М.: Мир, 1985. 419с.

17. Хьюбер П. Робастность в статистике / Пер. с англ. под ред. И.Г. Журбенко. М.: Мир, 1984. 303с.

18. Bachelier L. Theory of speculation // The random character of stock market prices. Ed. P.H. Cootner Cambridge: MIT Press, 1964. 17–78p.

19. Fama E. F. The behavior of stock market prices // Journal of Business. V. 38. 1965. 34-105p.

20. E.N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow// Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. V.20. P.130–141.