Сурнева О.Б.

Некоторые решения нелинейного параболического уравнения

с тремя независимыми переменными

СКФУ г.Ставрополь, Россия

Лемма 1. Уравнение на функцию [1]

(1)

эквивалентна операторному уравнению Лакса с операторами L и А

,

1. Сужение пространства к двумерному случаю

Лемма 2. Уравнение (1), при , сводится к гиперболическому квазилинейному уравнению [2]

, (2а)

с помощью замены: , , , .

Лемма 3. Уравнение (1), при , сводится к эллиптическому квазилинейному уравнению на комплекснозначную функцию

, (2б)

с помощью замены: , , , .

2. Точные решения

ТЕОРЕМА 1. Уравнение (2а), при , имеет частное решение вида: , где – произвольная постоянная.

ТЕОРЕМА 2. Уравнение (1), имеет частное решение вида:

ТЕОРЕМА 3. Уравнение (1), при , сводится к параболическому квазилинейному уравнению вида

, (5)

где - неизвестная функция трех переменных: , , .

ТЕОРЕМА 4. Уравнение (5), имеет решение вида

,

где – произвольные функции.

ТЕОРЕМА 5. Уравнение (5), имеет следующие частные решения:

,

,

где -произвольные параметры.

Доказательства поводятся простой проверкой.

Выполним в уравнении (5) преобразования позволяющие избавиться от показательной функции. Положим , тогда (5) примет вид

. (6)

Проведем анализ, позволяющий сказать, существует автомодельное решение или нет. Автомодельные решения существуют, если растяжение независимых и зависимых переменных по правилу , где постоянная , при соответствующем выборе эквивалентно тождественному преобразованию, т. е. исходное уравнение переходит само в себя

,

поэтому должны выполняться равенства , которые дают . Это означает что все переменные уравнения (6) имеют одинаковый вес. Кроме этого все слагаемые исследуемого уравнения (6) имеют одинаковый суммарный вес равный 4. Определим, в каком соотношении необходимо брать автомодельную связь между независимыми переменными, положим , где - произвольные параметры, тогда (6) примет вид

(7)

Полная замена на переменную в полученном равенстве возможна если , кроме этого для сокращения необходимо, чтобы коэффициенты и были пропорциональны, тогда получим

. (8)

где - коэффициент пропорциональности. В результате наложенных условий равенство (7) преобразуется к виду

.

После двукратного интегрирования функция примет вид

.

Возвращаясь к старой функции, получим решение

. (9)

ТЕОРЕМА 7. Уравнение (5), имеет частное решение (9), где – произвольные постоянные.

Литератера:

1. Сурнева О.Б. 2+1- мерное дифференциальное уравнение в частных производных обладающее парой Лакса//Materiály VIII mezinárodní vědecko – praktická Konference «Zprávy vědecké ideje – 2012». Díl 21 Matematika. Fyzika. Moderní informační technologie. Výstavba a architektura: Praha. Publishing House «Education and Science» s.r.o. 2012. 3-5.

2. Редькина Т.В. Возможность построения солитонных 1+1 и 2+1 - мерных уравнений, имеющих общую задачу рассеяния// Вестник СГУ, № 43. Ставрополь, 2005, с. 47-52.