Операторы преобразования специального вида

К. ф.-м. н. Редькина Т.В.

Операторы преобразования специального вида

СКФУ г.Ставрополь, Россия

Рассмотрим дифференциальные операторы М и В, и образующие пару Лакса , (1)

если коммутатор и производная являются операторами умножения на некоторые функции, где

, (2)

«¾» над буквой обозначает комплексное сопряжение, а L – оператор, зависящий от комплексной функции и имеет вид оператора Шредингера.

ТЕОРЕМА 1. Если коэффициенты полиномов

, , , , ,

где п – фиксированное натуральное число (пÎN), удовлетворяют следующим рекуррентным формулам: ,

, ,

j=0,1,…,n, то оператор вида:

, (3)

преобразует решения уравнения в функции , удовлетворяющие уравнениям

где - матрица, не зависящая от l.

СЛЕДСТВИЕ 1. Для того чтобы функция удовлетворяла уравнению , необходимо и достаточно, чтобы операторы преобразовывали решения уравнения в решение этого же уравнения.

СЛЕДСТВИЕ 2. Для оператора М вида (2) существует оператор В вида

, (4)

СЛЕДСТВИЕ 3. Оператор преобразует решение уравнения в функции удовлетворяющие неоднородному уравнению

где операторы имеют следующий вид: В – (4), L – (2), а

, . (5)

При (5) дает ранее полученную комплексификацию уравнения Кортевега – де Вриза [1]

Операторы преобразования высшего порядка

ТЕОРЕМА 2. Операторы , n =1, 2,… вида

, (6)

где п ≥ 2 – фиксированное натуральное число (пÎN), преобразуют решения уравнения в функции , удовлетворяющие уравнениям

где - матрица, не зависящая от .

СЛЕДСТВИЕ 2. Операторное уравнение Лакса (1), где М имеет вид (2), а В – семейство дифференциальных операторов записанных в симметричном виде

, (7)

где - действительное постоянное число, - функции от комплексной переменной и ее производным по переменной х порождает семейство комплексификации высших уравнений Кортевега – де Вриза.