УДК   517.  957

 

О  СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ   НЕЛИНЕЙНЫХ  НАГРУЖЕННЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ  УРАВНЕНИЙ.

 

 Кандидат физико – математических наук Рахимова Гульжан Кадырхановна

 

1. Введение и формулировка результатов.

      Общая теория краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений в наиболее важных направлениях  считается завершенной. Весьма исчерпывающая библиография содержится в работах С.М. Никольского [1], П.И. Лизоркина и С.М. Никольского [2],  М.М. Смирнова [3], А.В. Бицадзе [4], М.И. Вишика и В.В. Грушина [5],  В.П.Глушко [6], Т.Ш.Кальменова и М. Отелбаева [7], М.Б.Муратбекова [8-9] и других авторов.

      В настоящей работе исследуется дифференциальный оператор  неклассического типа. Здесь полученные результаты дополняют работы выше указанных авторов. Причем в отличие от вышеуказанных исследований в данной работе охватываются случай нечетного порядка.  

      В этой работе будем изучать задачу:

                                                                       (1)                                                                                              

                                                                                              (2)

                                                                                                                             (3)

где  .

      В дальнейшем считаем, что функции ,  кусочно-непрерывны и ограничены по обоим аргументам и удовлетворяют следующие условия:

        , , ,

        и при каждом не убывают  на отрезке [0,1].   и при каждом не убывают  на отрезке [0,1].  

        и при всех ;

 и при всех .  

      Теорема 1.  Пусть выполнены условия -. Тогда существует решение задачи (1)-(3)

такое, что

                                    ,                                                 (4)

где С>0 – постоянное число.

      Здесь  - норма пространства  .

 

2. О свойствах периодических решений для одного класса нелинейных вырождающихся уравнений.

 

      Рассмотрим задачу:

                                                                      (2.1)

                                                 ,                                           (2.2)

                                                    .                                                                       (2.3)

      Лемма 2.1. Пусть  и выполнено условие.  Тогда для любой правой части f из   существует, притом единственное решение задачи (3.1)-(3.3), такое, что

                                        ,                                         (2.4)

где C>0 не зависит от  u, v.

      Доказательство.  Положим

Тогда (2.1)-(2.3) сводится к задаче (1)-(3), где функции заменены, соответственно,  на  . При этом согласно условию  для  выполняются все условия теоремы 1 [8], откуда вытекает утверждение доказываемой леммы. Таким образом, задача (2.1)-(2.3) имеет единственное решение  удовлетворяющее оценку (2.4). Очевидно, если , то . Более того, поскольку – решение задачи (2.1)-(2.3), для произвольной функции  имеем . Поэтому, существование решения краевой задачи (1)-(3) эквивалентно существованию неподвижной точки оператор  в пространстве   т.е. существование функции  такой, что . При этом , поскольку

      Следовательно, задача (1)-(3) имеет решение, если оператор  имеет неподвижную точку. С этой целью применяем известный принцип Шаудера.

      Пусть  – шар в пространстве  и А- произвольное положительное  число.  

      Лемма 2.2.  Пусть выполнено условие . Тогда оператор  отображает множество  в себя.

      Доказательство.  Доказательство леммы следует из теоремы 1[8] и леммы 2.1., если в качестве А взять число  из оценки (2.4). Пусть  – прообраз шара .

      Лемма 2.3.  Пусть выполнено условие . Тогда для любой функции u из М справедливо неравенство

                                                           

где C>0 – постоянное число.

      Доказательство.  Доказательство леммы следует из леммы 3.1.

      Покажем, что в условиях теоремы 1.1 оператор  является вполне непрерывным в . Для этого достаточно показать компактность множества М в пространстве  и непрерывность оператора . Рассмотрим множества: 

                  

 Пользуясь  леммой 2.3 получим соотношения

                                                                                                                      (2.5)

Пусть - множество, состоящее из функции вида

                                 

где , а  – усредняющее ядро. Известно, что

1)      функция - бесконечно дифференцируемая;

2)        при  при ;

3)     

 

      Лемма 2. 4.  Множество  компактно в пространстве .

      Доказательство.  Пусть  – множество, состоящее из средних функции , построенных по функциям , принадлежащим множеству . Из (2.5), непосредственно вычисляя,  имеем, что

                                                                                                                               (2.6)

При любом фиксированном  множество  компактно в . Тогда согласно (2.6) множество  компактно в . Лемма 2.4 доказана.

      Лемма 2.5.  Если выполнено условие , то множество М компактно в пространстве .

      Доказательство.  Множество  компактно в согласно лемме 3.4. Отсюда следует, что  компактно в . Доказательство последнего утверждения вытекает из следствия теоремы 2 из [8 ст. 89].

Поскольку , то множество М компактно в . Лемма доказана. Осталось проверить непрерывность оператора .

      Лемма 2.6.  Пусть выполнено условие. Тогда оператор  непрерывен.

      Доказательство.  Пусть последовательность  и элемент  из множества , такие, что  в норме пространства  .

      Положим    и

где - фиксированный элемент в .  Тогда

или

                                 (2.7)

Левая часть последнего равенства имеет вид:

    

Отсюда и из (2.7) находим:

По предположению, коэффициенты оператора   удовлетворяют условиям теоремы 1[8]., следовательно существует обратный оператор

Отсюда

 

Пользуясь теореммой 1 и 2 [8]  имеем:

                                   (2.8)

Из теоремы 2.1. также следует, что

                                                                                      (2.9)

для всех  и . А из (5) [8] получим оценки:          

       , при              (2.10)

        , при                (2.11)

Учитывая оценки (2.9)-(2.11), из неравенства (2.8) имеем:

                                                                                              (2.12)

Здесь мы воспользовались тем, что   при   

Неравенство (2.12) доказывает лемму.

      Доказательство теоремы 1. Согласно леммам 2.5-2.6 оператор  вполне непрерывен и переводит шар  в себя. Тогда согласно принципу Шаудера оператор  при фиксированном  имеет неподвижную точку в . Это означает, что задачи (1)-(3) для любой правой части  имеет решение , принадлежащее шару , причем верна оценка: 

  

Теорема доказана.

 

 

  Список литературы

1.        Никольский С.М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа вырождением на границе // Труды Мат. Ин-та АН СССР. - 1979. - Т. 150, - С.212-238.

2.        Лизоркин П.И.,  Никольский С.М.Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства решений // Доклад  АН СССР. - 1981. -Т.257. - №1. - С.42-45.

3.        Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. - М.: – 1966. -С.292.

4.        Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: - 1970. – С.164.

5.        Вишик М.И., Грушин В.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений вырождающихся на границе области // Матем. сб. – 1969.  –Т.80. – №4. – С.455-491.

6.        Глушко В.П. Коэрцитивность в  общих граничных задачах для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка // Функциональный анализ и его приложения. – 1968. – С.87-88.

7.        Кальменов Т.Ш., Отелбаев М. О гладкости решений одного класса вырождающихся эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения. –1977– Т.13. – № 7. – С.1244-1255.

8.        Муратбеков М.Б.Коэрцитивные оценки для одного дифференциального оператора высшего порядка // Дифференциальные уравнения. –1981– Т.17. – № 5. – С.893-901.

9.        Муратбеков М.Б. О гладкости решений одного класса неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений // Известия АН Каз ССР. Сер.физ-мат. - 1981. - №5. - С.71-73.